Bài (12): Bài 2. GTLN, GTNN của hàm số

Theo báo cáo của một cơ sở sản xuất nước tinh khiết, nếu mỗi ngày cơ sở sản xuất $latex x\,\,\left( {{{\text{m}}^{3}}} \right)$ nước tinh khiết thì phải chi các khoản sau: 3 triệu chi phí cố định; 0,15 triệu đồng cho mỗi mét khối sản phẩm; $latex 0,0003{{x}^{2}}$ chi phí bảo dưỡng máy móc. Biết công suất tối đa mỗi ngày của cơ sở này là $latex 200\,\,\left( {{{\text{m}}^{3}}} \right)$. Gọi C(x) là chi phí sản xuất $latex x\,\,\left( {{{\text{m}}^{3}}} \right)$ sản phẩm mỗi ngày và $latex \bar{c}\left( x \right)$ là chi phí trung bình cho mỗi mét khối sản phẩm.

a) Chi phí sản xuất 100 mét khối nước tinh khiết là 20 triệu đồng

b) $latex \bar{c}\left( x \right)=0,0003x+0,15+\frac{3}{x}$

c) Chi phí trung bình cho mỗi mét khối sản phẩm thấp nhất khi sản lượng nước tinh khiết trong ngày là $latex 100\,\,\left( {{{\text{m}}^{3}}} \right)$

d) $latex C\left( x \right)=0,0003{{x}^{2}}+0,15x+5$

Để quảng bá du lịch ở thành phố Hà Nội, một công ty lữ hành dự định in $latex x~\left( {x\in {{\mathbb{N}}^{*}}} \right)$ cuốn cẩm nang giới thiệu về các điểm du lịch của thành phố Hà Nội. Công ty đã khảo sát, tính được chi phí cho xuất bản x cuốn cẩm nang được cho bởi $latex C\left( x \right)={{x}^{2}}-2000x+25000000$ (đồng) và chi phí phát hành cho mỗi cuốn cẩm nang là 4000 đồng.

a) Chi phí xuất bản và phát hành cho 1000 cuốn cẩm nang là 28 triệu đồng.

b) Chi phí xuất bản và phát hành cho cuốn cẩm nang thứ x là $latex T\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-2000x+25000000}}{x}\text{ }\text{ }\text{ }$ (đồng)

c) Nếu công ty xuất bản số cẩm nang lớn hơn 5000 cuốn thì chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn cẩm nang sẽ giảm.

d) Chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn cẩm nang thấp nhất là 12000 đồng.

Trong một thí nghiệm y học, người ta cấy 1000 vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng. Bằng thực nghiệm, người ta xác định được số lượng vi khuẩn thay đổi theo thời gian bởi công thức $latex N\left( t \right)=1000+\frac{{100t}}{{100+{{t}^{2}}}}$ trong đó t là thời gian tính bằng giây

a) Số lượng vi khuẩn sau 1 giây là 1002 con.

b) Số lượng vi khuẩn vượt trên 1004 con trong khoảng thời gian 15 giây.

c) Số vi khuẩn luôn tăng kể từ khi người ta cấy vào môi trường dinh dưỡng.

d) Số lượng vi khuẩn đạt lớn nhất sau 10 giây kể từ khi thực hiện cấy vi khuẩn vào môi trường dinh dưỡng.

Nhân dịp Tết Trung thu, bác Hà làm các đèn lồng cho con. Mỗi đèn bác dùng một sợi dây đồng dài 28 (dm) cắt thành 3 đoạn để uốn làm khung đèn. Đoạn thứ nhất bác uốn thành hình vuông ABCD có cạnh bằng x (dm) để làm đáy, hai đoạn còn lại có độ dài bằng nhau uốn thành các đường gấp khúc ASC và BSD. Khung đèn sau khi hoàn thiện có hình dạng là một hình chóp chóp tứ giác đều S.ABCD và mặt ngoài của đèn được dán giấy màu để trang trí (xem các mối nối, dán là không đáng kể). Khi đó ta có:

a) Độ dài cạnh bên của khung đèn bằng $latex 7-x\ \left( {dm} \right)$

b) Khi x = 2 (dm) thì độ dài đường cao của khung đèn là $latex 3\sqrt{3}\ \left( {dm} \right)$

c) Khi tất cả các cạnh của khung đèn bằng nhau thì diện tích giấy màu cần dùng là $latex \frac{{49\sqrt{3}}}{4}d{{m}^{2}}$

d) Thể tích phần không gian của đèn lồng lớn nhất khi $latex x=3,25dm$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung chiến lược vào kinh doanh xe honda Future Fi với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá là 31 triệu đồng. Với giá bán này thì số lượng xe mà khách hàng sẽ mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm là sẽ tăng thêm 200 chiếc. Gọi x triệu đồng ($latex 0<x<4$) là số tiền giảm giá của mỗi chiếc xe. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Tổng số sản phẩm bán được là $latex 600-200x$

b) Doanh thu mà doanh nghiệp sẽ đạt được là $latex -200{{x}^{2}}+5600x+18600$ triệu đồng

c) Lợi nhuận của doanh nghiệp thu được cao nhất là 2450 triệu đồng.

d) Khi doanh nghiệp bán xe với giá mới 30,5 triệu đồng thì doanh thu của doanh nghiệp thu được cao nhất.

Mỗi đợt xuất khẩu gạo của tỉnh A kéo dài trong 60 ngày. Người ta thấy lượng gạo xuất khẩu theo ngày thứ t được xác định bởi công thức $latex s\left( t \right)=-{{t}^{3}}+27{{t}^{2}}+262144$ (tấn) với $latex 1\le t\le 60,t\in {{\mathbb{N}}^{*}}$

a) Số lượng gạo xuất khẩu của tỉnh A ngày thứ 12 là 264304 (tấn).

b) Ngày thứ 30 của tỉnh A có lượng gạo xuất khẩu cao nhất.

c) Ngày thứ 1 của tỉnh A có lượng gạo xuất khẩu thấp nhất.

d) Ngày thứ 60 của tỉnh A có sản lượng xuất khẩu gạo thấp nhất là 143344.

Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $latex p\left( x \right)=1000-25x$, trong đó p(x) (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có x sản phẩm được bán ra.

a) Hàm doanh thu của công ty là $latex f\left( x \right)=x.p\left( x \right)$

b) Hàm số $latex f\left( x \right)=-25{{x}^{2}}+1000x$ có đạo hàm $latex {f}’\left( x \right)=1000-50x$

c) Nếu $latex f\left( x \right)=x.p\left( x \right)$ là hàm doanh thu thì phương trình $latex f’\left( x \right)=0$ có nghiệm x = 2

d) Hàm doanh thu đạt giá trị lớn nhất là 10 tỉ đồng

Nhà ông A cần làm một bể chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình chữ nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối hộp tương ứng có thể tích bằng 1152 dm³. Giả sử bề dày của thành bể và đáy bể là không đáng kể. Giá thuê công nhân để làm bể là 400000 đồng/m². Gọi x là chiều rộng của đáy bể (x là số dương và có đơn vị là dm)

a) Chiều cao của bể chứa nước là $latex \frac{{384}}{{{{x}^{2}}}}$ (dm)

b) Diện tích xung quanh của bể chứa nước là $latex \frac{{3072}}{x}$ (dm²).

c) Tổng diện tích cần làm của bể chứa nước là $latex \frac{{3072}}{x}+6{{x}^{2}}$ (dm²).

d) Chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể chứa nước theo yêu cầu là 3072000 đồng.

Một doanh nghiệp cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử  dụng  hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày cho số lãi $latex {{x}^{3}}+2x$ (triệu đồng). Máy B làm việc trong y ngày cho số lãi $latex 326y-27{{y}^{2}}$ (triệu đồng). Biết rằng hai máy A và B máy không đồng thời làm việc, máy B không làm việc quá 6 ngày. Các phát biểu dưới đây đúng hay sai?

a) Mỗi ngày, máy A làm việc cho số lãi $latex {{x}^{2}}+2$ (triệu đồng)

b) Máy B làm việc trong $latex 10-x$ ngày cho số lãi $latex 326x-27{{x}^{2}}$ (triệu đồng)

c) Tổng số lãi của doanh nghiệp nhận được khi máy A làm việc trong x ngày và máy B làm việc trong y ngày là $latex f\left( {x,y} \right)={{x}^{3}}+2x+326y-27{{y}^{2}}$ với $latex y\le 6;4\le x\le 10$

d) Số tiền lãi lớn nhất mà doanh nghiệp nhận được là 1056 (triệu đồng).

Một  vật được phóng theo phương thẳng đứng  lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 (m/s) thì độ cao h của nó ( tính bằng mét ) sau t (giây) được cho bởi công thức $latex h\left( t \right)=19,6t-4,9{{t}^{2}}$.

a) Vận tốc  của chuyển động bằng 14,7 (m/s) khi t = 1 giây

b) Gia tốc của vật tại mọi thời điểm là như nhau.

c) Khi vật chạm đất, vận tốc của nó bằng 19,6 (m/s)

d) Vật đó đạt độ cao lớn nhất  khi 3 giây

Một tàu đổ bộ tiếp cận Mặt Trăng theo cách tiếp cận thẳng đứng và đốt cháy các tên lửa hãm ở độ cao 250 km so với bề mặt của Mặt Trăng. Trong khoảng 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm, độ cao h của con tàu so với bề mặt của Mặt Trăng được tính (gần đúng) bởi hàm $latex h\left( t \right)=-0,01{{t}^{3}}+1,1{{t}^{2}}-30t+250$ trong đó t là thời gian tính bằng giây và h là độ cao tính bằng km.

a) Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm , độ cao lớn nhất mà con tàu đạt được là 250km

b) Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm , độ cao thấp nhất mà con tàu đạt được tại thời điểm 25 giây.

c) Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm , vận tốc của con tàu lớn nhất mà con tàu đạt được là 10,33 (km/giây)

d) Trong 50 giây đầu tiên kể từ khi đốt cháy các tên lửa hãm , độ cao con tàu đạt được khi vận tốc của con tàu lớn nhất là 139,37 (km)

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B. Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Biết rằng, nếu số lượng đặt hàng là x (tấn) sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $latex P\left( x \right)=45-0.001{{x}^{2}}$ (triệu đồng) và chi phí để nhà máy A sản xuất được x (tấn) sản phẩm trong một tháng là $latex C\left( x \right)=100+30x$ (triệu đồng, gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm).

a) Chi phí để nhà máy A sản xuất 10 tấn sản phẩm trong một tháng là 400 triệu đồng.

b) Số tiền nhà máy A thu được khi bán 10 tấn sản phẩm cho nhà máy B là 600 triệu đồng.

c) Lợi nhuận mà nhà máy A thu được khi bán x (tấn) sản phẩm $latex \left( {0\le x\le 100} \right)$ cho nhà máy B là $latex H\left( x \right)=-0,001{{x}^{3}}+15x-100$

d) Nhà máy A bán cho nhà máy B khoảng 70,7 tấn sản phẩm mỗi tháng thì thu được lợi nhuận lớn nhất.

Ông An cần xây một hồ chứa nước để dùng sinh hoạt trong gia đình với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $latex \frac{{500}}{3}\left( {{{m}^{3}}} \right)$. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 600.000đồng/mét vuông. Gọi x, h lần lượt là chiều rộng và chiều cao của khối hộp chữ nhật

a) Diện tích đáy của hồ là $latex 2{{x}^{2}}$

b) Chiều cao của hồ tính theo x là $latex h=\frac{{250}}{{3{{x}^{2}}}}$

c) Tổng diện tích các mặt của hồ là $latex \frac{{500}}{x}+4{{x}^{2}}$

d) Số tiền ông An bỏ ra ít nhất để thuê nhân công là 90.000.000 đồng.

Một cơ sở đóng giầy sản xuất mỗi ngày được x đôi giầy ($latex 1\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất x đôi giầy (đơn vị nghìn đồng) là $latex C\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}-288x+592$. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 200 nghìn đồng /một đôi. Gọi T(x) là số tiền bán được và L(x) là lợi nhuận thu được sau khi bán hết x đôi giầy

a) Lợi nhuận tối đa thu được trong một ngày là 1980 nghìn đồng.

b) Cơ sở này sản xuất được 12 đôi giầy thì lợi nhuận thu được là nhiều nhất.

c) Giả sử trong một ngày nào đó cơ sở lợi nhuận thu được là 1584 (nghìn đồng) khi đó cơ sở phải sản xuất được 9 đôi giầy.

d) Giả sử trong một ngày nào đó cơ sở sản xuất được 10 đôi giầy thì lợi nhuận thu được là 1888 (nghìn đồng).

Một vật chuyển động trên đường thẳng được xác định bởi công thức $latex s\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+7t-2$, trong đó $latex t>0$, tính bằng giây và s là quãng đường chuyển động được của vật trong t giây, tính bằng mét. Khi đó các mệnh đề sau đúng hay sai?

a) Vận tốc  của vật tại thời điểm t = 2 là 7 (m/s)

b) Gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là $latex 6\left( {m/{{s}^{2}}} \right)$

c) Gia tốc của vật tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 16 (m/s) là $latex 10\left( {m/{{s}^{2}}} \right)$

d) Thời điểm t = 1 (giây) tại đó vận tốc của chuyển động đạt giá trị nhỏ nhất.

Một vật chuyển động theo phương trình $latex s\left( t \right)=-\frac{1}{3}{{t}^{3}}+3{{t}^{2}}+7t+5$ trong đó t tính bằng giây và s được tính bằng mét là quãng đường vật di chuyển được

a) Vận tốc được tính bởi công thức $latex v\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+7.$

b) Gia tốc của vật tại thời điểm 4 giây bằng $latex 2~\left( {\text{m/}{{\text{s}}^{2}}} \right).$

c) Sau 6 giây vật đi được quãng đường là 83 mét

d) Vận tốc chuyển động của vật đạt giá trị lớn nhất khi t = 3 giây

Ông Thanh nuôi cá chim ở một cái ao có diện tích là 50 mét vuông. Vụ trước ông nuôi với mật độ là 20 con/m² và thu được 1,5 tấn cá. Theo kinh nghiệm nuôi cá của mình thì cứ thả giảm đi 8 con/m²  thì mỗi con cá khi thu hoạch tăng lên 0,5kg? Giả sử không có hao hụt khi nuôi.

a) Số cá giống mà ông thanh đã thả trong vụ vừa qua là 1500 con.

b) Khối lượng trung bình mỗi con cá thành phần trong vụ vừa qua là 1,5(kg).

c) Tổng trọng lượng cá thu được ở vụ này là $latex F\left( x \right)=-0,0652{{x}^{2}}+16x+1500$ (kg)

d) Vụ tới ông Thanh phải thả 488 con cá giống để được tổng năng suất khi thu hoạch là cao nhất.

Một nhà sản xuất Robot xác định rằng để bán được x đơn vị Robot, giá bán mỗi đơn vị (triệu đồng) phải là $latex p\left( x \right)=1000-x$. Nhà sản xuất cũng xác định rằng tổng chi phí sản xuất x đơn vị được cho bởi $latex C\left( x \right)=3000+20x$

a) Tổng doanh thu $latex R\left( x \right)=x+p\left( x \right)$

b) Tổng lợi nhuận $latex P\left( x \right)=R\left( x \right)-C\left( x \right)$

c) Để tối đa hóa lợi nhuận thì công ty phải sản xuất và bán 490 đơn vị Robot

d) Giá bán mỗi đơn vị là 510 (triệu đồng) thì công ty đạt được lợi nhuận tối đa

(T0233) Chi phí nhiên liệu của một chiếc tàu chạy trên sông được chia làm hai phần. Phần thứ nhất không phụ thuộc vào vận tốc và bằng 480 nghìn đồng trên 1 giờ. Phần thứ hai tỉ lệ thuận với lập phương của vận tốc, khi v = 10 (km/h) thì phần thứ hai bằng 30 nghìn đồng trên một giờ.

a) Khi vận tốc $latex v=10$ (km/h) thì chi phí nguyên liệu cho phần thứ nhất trên một kilomet đường sông là 48000 đồng.

b) Hàm số xác định tổng chi phí nguyên liệu trên một kilomet đường sông với vận tốc x(km/h) là $latex f\left( x \right)=\frac{{480}}{x}+0,03{{x}^{3}}$

c) Khi vận tốc $latex v=30$ (km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là 43000 đồng.

d) Vận tốc nhỏ nhất của tàu là $latex v=20$ (km/h) thì tổng chi phí nguyên liệu trên một km đường sông là nhỏ nhất

Một xưởng mộc dùng gỗ sồi để sản xuất 5 chiếc bàn mỗi ngày. Chi phí cho mỗi lần vận chuyển nguyên liệu là 5625 USD, chi phí để lưu trữ một đơn vị nguyên liệu là 10 USD mỗi ngày, trong đó một đơn vị là lượng nguyên liệu cần thiết để sản xuất một chiếc bàn, và lưu ý rằng trong mỗi ngày của chu kì sản xuất (thời gian giữa hai lần nhập nguyên liệu liên tiếp) thì lượng nguyên liệu lưu trữ trung bình mỗi ngày được tính bằng một nửa tổng lượng nguyên liệu tồn kho đầu kì và lượng nguyên liệu tồn kho cuối kì. Giả sử nguyên liệu được nhập về sau mỗi x ngày.

a) Một chu kì sản xuất, xưởng mộc phải nhập về 5x đơn vị nguyên liệu.

b) Chi phí để lưu trữ nguyên liệu trong x ngày của một chu kì sản xuất là $latex 50{{x}^{2}}$ (USD)

c) Hàm chi phí trung bình mỗi ngày trong một chu kì sản xuất là $latex c\left( x \right)=50x+\frac{{5625}}{x}$

d) Để chi phí trung bình mỗi ngày của một chu kì sản xuất là ít nhất thì xưởng mộc nên nhập hàng mỗi 15 ngày và mỗi lần nhập về 75 đơn vị nguyên liệu.

Chi phí vận hành trung bình (tình bằng triệu đồng/chuyến) của một công ty vận tải khi vận hành x chuyến xe mỗi ngày được cho bởi hàm số $latex \displaystyle A\left( x \right)=0,2x+2+\frac{{500}}{x}$ với $latex \displaystyle 10\le x\le 100$

a) Đạo hàm của hàm chi phí trung bình là $latex \displaystyle {A}’\left( x \right)=\frac{{0,2{{x}^{2}}+500}}{{{{x}^{2}}}}$

b) Chi phí trung bình trên mỗi chuyến xe thấp nhất bằng 22 triệu đồng.

c) Nếu do giới hạn về số lượng tài xế khiến công ty chỉ có thể vận hành tối đa 40 chuyến xe mỗi ngày. Chi phí trung bình mỗi chuyến xe trong trường hợp này thấp nhất bằng 22,5 triệu đồng.

d) Tổng chi phí vận hành của công ty vận tải trong một ngày thấp nhất bằng 1,1 tỷ đồng.

(T0210) Một hãng công nghệ dự định tung ra thị trường một loại tai nghe không dây mới. Chi phí sản xuất mỗi chiếc tai nghe là 500 nghìn đồng với giá bán ra niêm yết là 1,2 triệu đồng . Bộ phận bán hàng ước tính rằng, số lượng tai nghe bán được n(x) phụ thuộc vào chi phí quảng cáo x (đơn vị : triệu đồng) theo công thức $latex n\left( x \right)=A+30\ln \left( {1+x} \right)$. Biết rằng nếu chi $latex \left( {{{e}^{3}}-1} \right)$ triệu đồng cho quảng cáo thì bán được 190 sản phẩm.

a) A = 100

b) Hàm lợi nhuận của hãng (tính theo triệu đồng) là $latex L\left( x \right)=70+21.\ln \left( {x+1} \right)-2x$

c) Khi chi phí quảng cáo đang ở mức 6 triệu đồng thì lợi nhuận đạt 99 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất thì số tiền chi cho quảng cáo là 19,766 triệu đồng (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)

Một công ty sau khi mở bán sản phẩm mới đã ghi nhận lợi nhuận P(t) (triệu đồng) sau t tháng kinh doanh. Trong năm đầu tiên, giả sử mối liên hệ giữa lợi nhuận và thời gian kinh doanh được mô hình hóa bởi hàm số $latex P\left( t \right)=-{{t}^{3}}+15{{t}^{2}}+mt+50,\,\,1\le t\le 12$. Biết sau 3 tháng đầu tiên mở bán, công ty thu được lợi nhuận là 136 triệu đồng

a) Tốc độ tăng trưởng lợi nhuận của công ty là hàm số $latex P’\left( t \right)=-3{{t}^{2}}+30t+50$

b) Lợi nhuận của công ty đạt mức tối đa tại thời điểm t = 3

c) Sau 2 tháng mở bán, lợi nhuận công ty thu về được 246 triệu đồng

d) Tại thời điểm t = 5 thì tốc độ thay đổi lợi nhuận là lớn nhất

Một cơ sở đóng giày sản xuất mỗi ngày được x đôi giày với $latex 1\le x\le 50$. Tổng chi phí sản xuất x đôi giày (nghìn đồng) là $latex C\left( x \right)={{x}^{3}}-90{{x}^{2}}+2400x+900$. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 600 nghìn đồng/đôi.

a) Doanh thu của cơ sở khi bán hết 45 đôi giày là 27 triệu đồng

b) Tổng chi phí sản xuất 25 đôi giày là 20 triệu đồng

c) Tổng chi phí cao nhất trong một ngày là 30 triệu đồng

d) Lợi nhuận thu được trong một ngày lớn nhất khi sản xuất và bán hết 47 đôi giày.

Một công ty bất động sản ước tính rằng lợi nhuận P (tỉ đồng) thu được từ việc xây dựng x căn hộ cao cấp trong một dự án được cho bởi hàm số $latex P\left( x \right)=-{{x}^{3}}+9{{x}^{2}}-15x-50$ với $latex 0<x<8$.

a) Nếu công ty không xây dựng căn hộ nào thì công ty vẫn chịu lỗi chi phí cố định (lỗ vốn) là 50 tỉ đồng.

b) Hàm lợi nhuận đồng biến trên khoảng (1; 5)

c) Lợi nhuận đạt cực tiểu khi xây dựng 5 căn hộ

d) Để đạt lợi nhuận lớn nhất, công ty nên xây dựng 5 căn hộ

Một doanh nghiệp sản xuất và tiêu thị một loại sản phẩm. Trong một ngày, nếu doanh nghiệp sản xuất và tiêu thụ x sản phẩm ($latex 1\le x\le 186$) thì chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm là $latex \overline{C}\left( x \right)={{x}^{2}}-6x+140+\frac{{750}}{x}$ (USD/sản phẩm) và toàn bộ chúng được bán với giá $latex 1400-7,5x$ (USD) một sản phẩm. Giả sử toàn bộ x sản phẩm sản xuất ra đều được tiêu thụ hết.

a) Số tiền doanh nghiệp thu được là $latex F\left( x \right)=1400x-7,5{{x}^{2}}$ (USD)

b) Chi phí doanh nghiệp phải bỏ ra là $latex C\left( x \right)={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+140x+750$ (USD)

c) Lợi nhuận doanh nghiệp thu được là $latex P\left( x \right)=-{{x}^{3}}-1,5{{x}^{2}}+1260x-750$ (USD)

d) Lợi nhuận lớn nhất mà doanh nghiệp thu được là 15850 (USD).

Số lượng sản phẩm bán được của một công ty trong x tháng được tính theo công thức $latex S\left( x \right)=200\left( {5-\frac{9}{{x+2}}} \right)$ trong đó $latex x\ge 1$. Khi đó S'(x) biểu thị tốc độ thay đổi số lượng sản phẩm bán được theo thời gian

a) Công ty bán được 775 sản phẩm trong 6 tháng

b) Đạo hàm $latex S’\left( x \right)=\frac{{1800}}{{{{{\left( {x+2} \right)}}^{2}}}}$

c) Nếu công ty duy trì thời gian bán hàng đủ lâu thì số lượng sản phẩm bán được sẽ vượt mức 1000

d) Doanh số của công ty tăng trưởng chậm dần theo thời gian

Thể tích nước (mét khối) của một bể bơi sau t phút bơm được cho bởi công thức $latex V\left( t \right)=\frac{1}{{100}}\left( {-0,5{{t}^{3}}+90{{t}^{2}}} \right)$ với $latex 0\le t\le 120$. Gọi $latex v\left( t \right)=V’\left( t \right)$ là tốc độ bơm nước

a) Thể tích nước sau 10 phút là 80 mét khối

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm t = 20 phút là 30 mét khối/phút

c) Trong 30 phút đầu, thể tích nước lớn nhất trong bể là 675 mét khối

d) Tốc độ bơm nước cao nhất là 60 mét khối/phút.

Một xưởng sản xuất một loại sản phẩm A. Phòng kinh doanh đã nghiên cứu và đưa ra các hàm số sau:

• Hàm chi phí sản xuất x sản phẩm là $latex C\left( x \right)=20x+1200$
• Hàm giá bán của mỗi sản phẩm là $latex p\left( x \right)=100-x$ (đơn vị của x là sản phẩm, đơn vị của chi phí và giá bán là nghìn đồng)

a) Hàm lợi nhuận P(x) thu được từ việc sản xuất và bán x sản phẩm A là $latex P\left( x \right)=-{{x}^{2}}+80x-1200$

b) Để công ty không bị lỗ, số sản phẩm cần sản xuất và bán ra phải thuộc đoạn $latex \left[ {20;60} \right]$

c) Doanh thu của xưởng là một hàm số đồng biến trên khoảng $latex \left( {0;60} \right)$

d) Nếu chính phủ áp thuế 4 nghìn đồng trên mỗi sản phẩm bán ra thì lợi nhuận tối đa của xưởng sẽ giảm đi 80 nghìn đồng so với khi chưa có thuế

Giả sử giá bán cho mỗi sản phẩm độc quyền được cho bởi công thức $latex P\left( a \right)=500-3a$ trên mỗi sản phẩm và hàm chi phí trung bình để sản xuất $latex \overline{C}\left( a \right)=0,1a+4+\frac{{600}}{a}$ trong đó a là số đơn vị sản phẩm và đơn vị tính là USD

a) $latex a=80$ là lượng sản phẩm bán ra để lợi nhuận thu được tối đa.

b) Giá bán để lợi nhuận thu được tối đa là 260 (USD).

c) Lợi nhuận thu được tối đa là 19180 (USD).

d) Nếu sản phẩm phải chịu 12,4 USD tiền thuế thì giá bán sản phẩm để thu được lợi nhuận tối đa là 266 USD.

Một vật chuyển động theo quy luật $latex \displaystyle s={{t}^{3}}-6{{t}^{2}}+42t+1$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó.

a) Khi quãng đường vật đi được là 186 mét thì vận tốc tức thời của vật là 57 (mét/giây)

b) Trong khoảng thời gian 10 giây đầu tiên, vận tốc nhỏ nhất của vật là 30 (mét/giây)

c) Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm 1 giây là 33 (mét/giây)

d) Khi vật đạt vận tốc tức thời bằng 105 (mét/giây) thì quãng đường vật đi được là 344 mét

Một chất điểm chuyển động theo phương trình $latex s\left( t \right)={{t}^{3}}-3{{t}^{2}}+8t+1$, trong đó t tính bằng giây và s(t) tính bằng mét.

a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm 3 giây bằng 8 (m/s).

b) Tại thời điểm mà chất điểm di chuyển được 13 mét, vận tốc khi đó bằng 8 (m/s).

c) Vận tốc nhỏ nhất của chất điểm là 5 (m/s).

d) Gia tốc tại thời điểm chất điểm đạt vận tốc nhỏ nhất bằng $latex 2\text{ }!!~!!\text{ }\left( {\text{m}/{{s}^{2}}} \right)$

Thể tích nước của một bể bơi sau t phút bơm được tính theo công thức $latex V\left( t \right)=\frac{1}{{100}}\left( {30{{t}^{3}}-\frac{{{{t}^{4}}}}{4}} \right)$ (mét khối), $latex {0\le t\le 90}$. Tốc độ bơm nước tại thời điểm t được tính theo công thức $latex f\left( t \right)={V}’\left( t \right)$

a) Thể tích nước của bể bơi sau 30 phút bơm là 6075 (mét khối)

b) Tốc độ bơm nước tại thời điểm t là $latex f\left( t \right)=90{{t}^{2}}-{{t}^{3}}$

c) Tốc độ bơm giảm từ phút thứ 25 đến phút thứ 55.

d) Tốc độ bơm lớn nhất tại thời điểm $latex t=60$ (phút).

(T0085) Một nhóm học sinh thực hành kỹ năng kinh doanh một loại sản phẩm X. Nhóm ước tính rằng với q sản phẩm sẽ được sản xuất trong một tháng thì tổng chi phí sẽ là $latex C\left( q \right)=8{{q}^{2}}+40q+1400$ (đồng) và mỗi sản phẩm sẽ bán với giá $latex P\left( q \right)=1400-2q$ (đồng)

a) Chi phí mỗi tháng nhóm phải bỏ ra để sản xuất 50 sản phẩm là 23400 đồng

b) Lợi nhuận bán được q sản phẩm là $latex F\left( q \right)=-10{{q}^{2}}+1440q-1400$ đồng

c) Lợi nhuận cao nhất trong một tháng của nhóm là hơn 50000 đồng.

d) Nếu số lượng bán ra trong một tháng nằm trong khoảng từ 60 đến 70 thì lợi nhuận sẽ được ước tính trong khoảng 44200 đồng đến 44840 đồng.

(T0079) Để quảng bá du lịch ở Thành phố Hà Nội, một công ty du lịch lữ hành in x cuốn cẩm nang giới thiệu về các điểm du lịch của Hà Nội. Công ty đã khảo sát, tính được chi phí cho xuất bản x cuốn cẩm nang được cho bởi $latex C\left( x \right)={{x}^{2}}-2000x+25000000$ (đồng) và chi phí phát hành cho mỗi cuốn cẩm nang là 4000 đồng.

a) Chi phí xuất bản và phát hành cho 1000 cuốn cẩm nang là 28 triệu đồng.

b) Chi phí xuất bản và phát hành cho cuốn cẩm nang thứ x là $latex T\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}-2000x+25000000}}{x}\text{ }!!~!!\text{ }!!~!!\text{ }$ (đồng).

c) Nếu công ty xuất bản số cẩm nang lớn hơn 5000 cuốn thì chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn cẩm nang sẽ giảm

d) Chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn cẩm nang thấp nhất là 12000 đồng.

Một trang sách có dạng hình chữ nhật có diện tích $latex 486\text{ }\text{ }\left( {\text{c}{{\text{m}}^{2}}} \right)$. Giả sử trang sách được đặt dọc trên mặt bàn và lề trên, lề đưới đều để 3cm; lề trái và lề phải đều để 2cm; phần còn lại của trang sách được in chữ. Gọi x là chiều rộng của trang sách

a) Chiều dài của trang sách khi đó là $latex 486-x\,\,\left( {\text{cm}} \right)$

b) Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất khi $latex x=18\left( {\text{cm}} \right)$

c) Phần in chữ của trang sách có diện tích lớn nhất là $latex 276\,\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

d) Phần diện tích lề để trống là $latex 210\,\left( {c{{m}^{2}}} \right)$

Bác Lâm muốn gò một cái thùng bằng tôn dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông và đựng đầy được 32 lít nước. Gọi độ dài cạnh đáy của thùng là x (dm), chiều cao của thùng là h (dm)

a) Thể tích của thùng là $latex V={{x}^{2}}h~\,\,\left( {\text{d}{{\text{m}}^{3}}} \right)$

b) Tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của thùng là $latex S\left( x \right)=\frac{{128}}{x}+{{x}^{2}}~\left( {d{{m}^{2}}} \right)$

c) Đạo hàm của hàm số S(x) là $latex {S}’\left( x \right)=\frac{{128}}{{{{x}^{2}}}}+2x$

d) Để làm được cái thùng mà tốn ít nguyên liệu nhất thì độ dài cạnh đáy của thùng là 4dm.

Nhà ông A cần làm một bể chứa nước có dạng khối hộp chữ nhật không nắp, có đáy là hình chữ nhật và chiều dài gấp ba lần chiều rộng, khối hộp tương ứng có thể tích bằng 1152 (decimet khối). Giả sử bề dày của thành bể và đáy bể không đáng kể. Giá thuê công nhân làm bể là 400 nghìn đồng/mét vuông. Gọi x là chiều rộng của đáy bể (x là số dương và có đơn vị là dm)

a) Chiều cao của bể chứa nước là $latex \frac{{384}}{{{{x}^{2}}}}\left( {dm} \right)$

b) Diện tích xung quanh của bể chứa nước là $latex \frac{{3072}}{x}\left( {d{{m}^{2}}} \right)$

c) Tổng diện tích cần làm của bể chứa nước là $latex \frac{{3072}}{x}+6{{x}^{2}}\left( {d{{m}^{2}}} \right)$

d) Chi phí thấp nhất mà ông A trả cho công nhân làm bể chứa nước theo yêu cầu là 3.072.000 đồng

Cho miếng bìa hình chữ nhật với kích thước 20cm x 10cm. Bạn Huy cắt bỏ hai hình vuông nhỏ có cạnh x (cm) và hai hình chữ nhật (phần gạch sọc như hình vẽ) rồi gấp theo đường nét đứt và dán các mép để được một cái hộp. Gọi x (cm) là chiều cao của hộp đó

a) Đáy của hộp lần lượt có kích thước là $latex 5-x;10-x\left( {cm} \right)$

b) Biểu thức thê tích của hộp là $latex V=2{{x}^{3}}-30{{x}^{2}}+100x\left( {c{{m}^{3}}} \right)$

c) Thể tích lớn nhất của hộp bằng $latex 96,4\left( {c{{m}^{3}}} \right)$ (làm tròn đến hàng phần mười)

d) Để thể tích hộp lớn nhất, bạn Huy phải cắt bỏ các miếng bìa có tổng diện tích là $latex 51,2\left( {c{{m}^{2}}} \right)$ (làm tròn đến hàng phần mười).

(T0088) Một công ty muốn xây dựng một đường ổng dẫn từ một điểm A trên bờ biển đến một điểm B trên một hòn đảo

Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD mỗi km và 130000 USD để xây mỗi km dưới nước. Gọi C là điểm trên bờ biển sao cho BC vuông góc với bờ biển, BC =6km, AC = 9km. Gọi M là vị trí trên đoạn AC sao cho khi làm ổng dẫn theo đường gấp khúc AMB thì chi phí ít nhất

a) Nếu công ty lắp đường ống theo đường ACB thì chi phí hết số tiền 1230000 USD.

b) Nếu công ty lắp đường ống thẳng theo đường trên biển từ A đến B thì chi phí hết số tiền nhỏ hơn 1400000 USD.

c) Nếu công ty lắp đường ống theo đường gấp khúc AMB với M là trung điểm của AC thì chi phí là 1200000 USD.

d) Chi phí thấp nhất để hoàn thành việc xây dựng đường ống dẫn là 1170000 USD.

(T0089) Một ngọn hải đăng được đặt tại vị trí A cách bờ biển một khoảng AB = 5km. Trên bờ biển có một cái kho ở vị trí C cách B một khoảng $latex BC=7km$

Người canh hải đăng có thể chèo đò từ vị trí A đến vị trí M trên bờ biển với vận tốc 4 (km/h) và đi bộ đến kho C với vận tốc 6 (km/h). Đặt $latex BM=x$ với $latex 0<x<7$

a) Thời gian đi từ A đến M là $latex \frac{{\sqrt{{25+{{x}^{2}}}}}}{4}$

b) Thời gian đi từ A đến C là $latex \frac{{\sqrt{{25+{{x}^{2}}}}}}{4}+\frac{{7-x}}{6}$

c) Thời gian ngắn nhất từ A đến C là khoảng 3 giờ 06 phút.

d) Muộn nhất 3 giờ 45 phút người đó phải xuất phát từ vị trí A để có mặt tại kho C lúc 7 giờ sáng.

Một cơ sở sản xuất có thể cung cấp 1000 sản phẩm A trong 1 tháng. Qua khảo sát thì thấy rằng nếu sản phẩm A bán với giá 100 nghìn đồng thì có 290 người mua, nếu cứ giảm 10 nghìn đồng thì lại có thêm 50 người mua. Gọi p là giá sản phẩm A (nghìn đồng) và R(p) là hàm doanh thu trong 1 tháng (nghìn đồng).

a) Số sản phẩm bán ra là $latex 790-5p.$

b) Hàm doanh thu là $latex R\left( p \right)=1000-790p+5{{p}^{2}}.$

c) Phương trình $latex R’\left( p \right)=0$ có nghiệm là $latex p=79$

d) Doanh thu lớn nhất trong 1 tháng là 31.205 nghìn đồng.

Có hai người đang lái xe ở hai vị trí A và B. Người ở vị trí A đạp xe đến vị trí C với vận tốc 6 (km/h), còn người ở vị trí B đạp xe với vận tốc 8 (km/h) để đến vị trí D. Biết rằng $latex AB=10km$, gọi t (giờ) là thời gian đạp xe của mỗi người.

a) Quãng đường người ở vị trí A đi được sau thời gian t (giờ) là 8t (km).

b) Quãng đường người ở vị trí B đi được sau thời gian t (giờ) là 6t (km).

c) Độ dài đoạn thẳng CD tính theo t là $latex \sqrt{{36{{t}^{2}}+{{{\left( {10-8t} \right)}}^{2}}}}$ (km).

d) Khi hai người cách nhau một khoảng ngắn nhất thì thời gian đạp xe của mỗi người là 48 phút.

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa ($latex \displaystyle 1\le x\le 18$). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm chi phí $latex \displaystyle C\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-20x+500$. Giả sử hộ làm nghề dệt này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá 220 nghìn đồng/mét. Gọi B(x) là số tiền bán được và L(x) là lợi nhuận khi bán x mét vải lụa.

a) Biểu thức tính B(x) theo x là $latex \displaystyle B\left( x \right)=220+x$ (nghìn đồng)

b) Biểu thức tính L(x) theo x là $latex \displaystyle L\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+240x-500$ (nghìn đồng)

c) Lợi nhuận tối đa của hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm có thể đạt được là 1200 nghìn đồng.

d) Hộ làm nghề dệt này cần sản xuất và bán ra mỗi ngày 10 mét vải lụa để thu được lợi nhuận tối đa

Lợi nhuận một xưởng thu được từ việc sản xuất một mặt hàng được cho bởi công thức $latex P\left( q \right)=-{{q}^{3}}+24{{q}^{2}}+780q-5000$ (nghìn đồng), trong đó q (kg) là khối lượng sản xuất được. Xưởng chỉ sản xuất được tối đa 50kg sản phẩm trong một tuần

a) Lợi nhuận của xưởng thu được khi sản xuất được 10kg sản phẩm là 4200 nghìn đồng.

b) Xưởng sản xuất càng nhiều thì lợi nhuận càng cao.

c) Lợi nhuận lớn nhất khi xưởng sản xuất 26kg sản phẩm trong một tuần.

d) Sau khi sản xuất được 26kg sản phẩm, càng sản xuất thêm thì lợi nhuận càng giảm.

Giả sử một loại dịch bệnh sau khi bùng phát t tuần có số người nhiễm bệnh được tính theo công thức $latex \displaystyle {{N}_{1}}\left( t \right)=0,1{{t}^{2}}+0,4t+100,\,\,0\le t\le 20$, trong đó $latex \displaystyle {{N}_{1}}\left( t \right)$ tính theo đơn vị nghìn người. Sau khi bệnh dịch bùng phát được 20 tuần thì người ta mới điều chế được vắc xin và đưa vào sử dụng cho cộng đồng. Sau khi sử dụng vắc xin, số người nhiễm bệnh được tính theo công thức $latex \displaystyle {{N}_{2}}\left( t \right)=-0,2{{t}^{2}}+5t+120\,\,\,\left( {20<t\le 40} \right)$, trong đó $latex \displaystyle {{N}_{2}}\left( t \right)$ tính theo đơn vị nghìn người

a) Sau khi bùng phát dịch 15 tuần, số người nhiễm bệnh là 128,5 nghìn người

b) Kể từ thời điểm tiêm vắc xin, sau 20 tuần dịch bệnh kết thúc

c) Trong suốt thời gian dịch bệnh, số người nhiễm bệnh nhiều nhất là 148 nghìn người

d) Số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh là hơn 2 triệu người

Một công ty phát triển giáo dục dự định in a cuốn sách luyện đề minh hoạt cho học sinh. Công ty đã khảo sát và tính được chi phí để xuất bản a cuốn sách này được biểu diễn bởi hàm số $latex \displaystyle C\left( a \right)={{a}^{2}}-2000a+25000000$ đồng và chi phí phát hành cho mỗi cuốn sách là 5000 đồng

a) Chi phí xuất bản và phát hành cho 2000 cuốn sách luyện đề là 35 triệu đồng.

b) Chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn sách là $latex \displaystyle T\left( a \right)=\frac{{{{a}^{2}}-2000a+25000000}}{a}$

c) Nếu công ty xuất bản số sách luyện đề lớn hơn 5000 cuốn thì chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn sẽ giảm

d) Chi phí xuất bản và phát hành cho mỗi cuốn sách luyện đề thấp nhất là 12000 đồng

Một công ty sản xuất đồ chơi trẻ em. Giả sử mỗi tuần sản xuất được x sản phẩm đồ chơi (20 < x < 150). Chi phí trung bình cho một sản phẩm được cho bởi công thức $ C\left( x \right)=5x-450+\frac{{32000}}{x}$. Biết rằng mỗi sản phẩm được bán đồng giá 35 nghìn đồng. Gọi T(x) là số tiền bán được và L(x) là lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm

a) Doanh thu của công ty khi bán được 50 sản phẩm là 1570 nghìn đồng

b) Biểu thức lợi nhuận của công ty khi bán x sản phẩm là $L\left( x \right)=35x$

c) Lợi nhuận thu được khi bán được 38 sản phẩm là 1310 nghìn đồng

d) Công ty cần sản xuất 80 sản phẩm để chi phí thấp nhất