Dạng toán: Toán thực tế (Đúng - sai)

(T0199) Trên vùng thảo nguyên Châu Phi rộng lớn, một con sư tử đang chuẩn bị cuộc đi săn mồi. Từ trạng thái nghỉ, con sư tử bắt đầu tăng tốc đuổi theo một con linh dương. Vận tốc của con sư tử khi tăng tốc được biểu diễn bởi hàm số $latex v(t)=k{{t}^{3}}+4t$, $latex (k\in \mathbb{R})$ với t là thời gian kể từ khi rời khỏi trạng thái nghỉ đến khi đạt vận tốc tối đa, t tính bằng giây (s), v(t) tính bằng mét/giây. Từ khoảng cách 50 m, cùng thời điểm con sư tử bắt đầu tăng tốc đuổi, con linh dương bỏ chạy theo hướng di chuyển của con sư tử với vận tốc 10 m/s. Biết rằng sau 3 giây kể từ khi rời khỏi trạng thái nghỉ, con sư tử đã di chuyển được quãng đường 17,25 m và vẫn đang trong quá trình tăng tốc.

a) Gia tốc của con sư tử tại thời điểm bắt đầu đuổi theo con linh dương là $latex 4\ \left( {\text{m/}{{\text{s}}^{2}}} \right)$

b) Quãng đường con sư tử di chuyển được sau 3 giây kể từ khi rời khỏi trạng thái nghỉ được tính theo công thức $latex S=\int\limits_{0}^{3}{{{{v}^{2}}(t)dt}}$

c) $latex k=-\frac{1}{{24}}$

d) Sau khi đạt đến vận tốc tối đa, con sư tử có thể duy trì vận tốc đó trong 6 giây. Sau đó nếu không đuổi kịp con mồi, nó sẽ giảm tốc độ và từ bỏ cuộc đi săn. Biết rằng con sư tử không đuổi kịp con mồi, tại thời điểm bắt đầu giảm tốc độ, khoảng cách giữa nó và con linh dương nhỏ hơn 15 mét.

Một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $latex R’\left( t \right)=783-3{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm) với t là số năm tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $latex C’\left( t \right)=48+12{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm), ở đây C(t) là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi

a) Doanh thu sau 5 năm của máy A là $latex \int\limits_{0}^{5}{{\left( {783-3{{t}^{2}}} \right)dt}}$

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 4 năm là 448 triệu đồng.

c) Lợi nhuận do máy A tạo ra luôn tăng trong 8 năm đầu hoạt động.

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra lớn nhất là 3500 triệu đồng.

Nhằm điều tiết mực nước của hồ chứa trong những ngày mưa lớn, một hồ thủy điện thông báo mở cửa xả lũ trong 5 giờ, bắt đầu từ thời điểm 0 giờ. Lưu lượng nước xả lũ là lượng nước hồ thủy điện xả về hạ lưu trên mỗi đơn vị thời gian, được ước tính bởi hàm số $latex f\left( t \right)=a{{t}^{3}}+b{{t}^{2}}+1$ (nghìn mét khối/giây), trong đó t được tính bằng giờ là thời gian từ 0 giờ đến 5 giờ. Tại thời điểm 0 giờ , lưu lượng nước xả về hạ lưu là 1000 mét khối/giây và bắt đầu tăng cho đến khi đạt cực đại bằng 3000 mét khối/giây thì lưu lượng nước giảm dần, đến thời điểm 5 giờ thì trở về lại 1000 mét khối/giây. Hàm số $latex y=f\left( t \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên.

a) Giá trị của a là – 0,2

b) $latex f\left( 5 \right)=1$

c) Tổng lượng nước được hồ chứa xả về hạ lưu từ 0 giờ đến 5 giờ là 38,25 triệu mét khối.

d) Lưu lượng nước xả lũ đạt cực đại tại thời điểm 3 giờ 20 phút

(T0221) Một lon sữa cho trẻ em được lấy ra khỏi tủ lạnh và đặt trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của lon sữa tại thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh là $latex -4{}^\circ C$ và sau đó t giờ, tốc độ tăng nhiệt độ của lon sữa được cho bởi công thức $latex {T}’\left( t \right)=7.{{e}^{{-0,35t}}}$ (độ C/giờ) cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường là $latex 10{}^\circ C$

a) Sau 2 giờ, tốc độ thay đổi nhiệt độ của lon sữa bằng $latex 3,48{}^\circ C/$giờ (Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân)

b) Nhiệt độ của lon sữa tính từ thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường được tính bởi công thức $latex T\left( t \right)=-20.{{e}^{{-0,35t}}}$

c) Thời gian để lon sữa đạt nhiệt độ môi trường là 3,44 giờ. (Làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân của giờ).

d) Ngay sau khi đạt nhiệt độ môi trường, lon sữa được đưa vào máy hâm sữa. Tốc độ tăng nhiệt độ của lon sữa trong máy sau t giờ được xác định bởi: $latex {L}’\left( t \right)=k.{{e}^{{-0,22t}}}$ (k là hằng số). Lon sữa được coi là đạt yêu cầu khi nhiệt độ lon sữa bằng $latex 70{}^\circ C$. Biết rằng thời gian cần thiết để hâm nóng lon sữa là 5 phút thì hằng số $latex k\in \left( {720;730} \right)$

Trong một bể xử lý nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm t được kí hiệu bằng N(t) (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm số mũ và được mô hình hóa bởi hàm số $latex \displaystyle {N}’\left( t \right)=A.{{\text{e}}^{{kt}}}$, trong đó A, k là các hằng số dương, t là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm (sau khi xử lý và làm tròn số liệu), người ta ước lượng được $latex \displaystyle A=1\,000\ln 2$ và tại thời điểm $latex \displaystyle t=1$ có 3000 vi khuẩn; $latex \displaystyle {N}’\left( 1 \right)=2\,000.\ln 2$. Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá 65000 vi khuẩn

a) $latex \displaystyle k=\ln 2$

b) Số vi khuẩn tại thời điểm $latex \displaystyle t=5$ giờ là 34000 con

c) Số lượng vi khuẩn bắt đầu vượt ngưỡng an toàn từ sau thời điểm t = 6 giờ

d) Tại thời điểm $latex \displaystyle t=6$ giờ người ta tiến hành xử lý để giảm số lượng vi khuẩn theo quy luật $latex \displaystyle M\left( t \right)=65\,000.{{\text{e}}^{{-0,25\left( {t-6} \right)}}}$ với M(t) là số con vi khuẩn ở thời điểm t giờ ($latex \left( {t\ge 6} \right)$). Khi đó, sau $latex \displaystyle 4\ln 2$ giờ kể từ khi bắt đầu xử lý, số vi khuẩn còn lại 32500 con.

(Vận dụng cao) Trung tâm bồi dưỡng Văn hóa xây dựng một khuôn viên có dạng là một Elip có độ dài trục lớn là 10 mét và độ dài trục bé là 8 mét. Để tăng tính thẩm mỹ, khi thực hiện đã chia khuôn viên thành hai phần bằng một đường cong là một phần của đồ thị hàm số bậc ba $latex y=f\left( x \right)$ có tâm đối xứng trùng với tâm đối xứng của Elip và tiếp xúc với Elip lần lượt tại hai điểm A, B (với A, B là giao điểm của Elip với hai đường thẳng đi qua tiêu điểm của Elip, đồng thời song song với trục bé) như hình vẽ.

Cho biết chi phí trồng hoa 1 mét vuông là 150 nghìn đồng, trồng cỏ 1 mét vuông là 100 nghìn đồng. Tính tổng chi phí để hoàn thành công trình trên? (đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng đơn vị)

Máy đo lưu lượng khí là một thiết bị sử dụng trong y học để các bác sĩ sử dụng mô tả đồ thị tốc độ lưu lượng khí ra vào phổi khi bệnh nhân thở. Đồ thị như hình vẽ dưới đây cho thấy tốc độ hít vào của một bệnh nhân cụ thể tuân theo một hàm số bậc hai

Diện tích đường cong đo tổng thể tích không khí mà bệnh nhân hít vào trong giai đoạn hít vào của một chu kỳ thở. Biết giai đoạn hít vào kéo dài khoảng 2,37 giây và tại thời điểm t = 1 giây thì tốc độ hít vào là 0,56 (lít/giây) (kết quả được tính làm tròn đến hàng phần chục)

a) Tốc độ hít vào sau t giây được mô tả bởi hàm số $latex R\left( t \right)=-\frac{{56}}{{137}}{{t}^{2}}+\frac{{3318}}{{3425}}t$ (lít/giây)

b) Tốc độ hít vào lớn nhất là 0,4 (lít/giây)

c) Thể tích không khí được đưa vào phổi bệnh nhân trong giai đoạn hít khí là 0,9 lít

d) Tốc độ trung bình của lưu lượng khí vào phổi trong giai đoạn hít vào là 0,4 (lít/giây)

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có 1000 con. Sau 2 giờ, số lượng vi khuẩn tăng lên thành 4000 con. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn tại thời điểm t giờ. Biết rằng tốc độ tăng trưởng của quần thể tỉ lệ thuận với số lượng vi khuẩn hiện có, tức là $latex P’\left( t \right)=k.P\left( t \right)$ với k là hằng số khác 0 với $latex t\ge 0$

a) Công thức tính số lượng vi khuẩn tại thời điểm t là $latex P\left( t \right)=4000{{e}^{{kt}}}$

b) Hằng số tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn là $latex k=\ln 2$

c) Sau 5 giờ kể từ thời điểm ban đầu, số lượng vi khuẩn là 32000 con

d) Để số lượng vi khuẩn đạt 64000 con, cần đúng 6 giờ kể từ thời điểm ban đầu

Giả sử khi được t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $latex R’\left( t \right)=588-3{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm), thời điểm t = 0 tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $latex C’\left( t \right)=48+12{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm), ở đây C(t) là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi.

a) Doanh thu sau 10 năm của máy A là $latex \int\limits_{0}^{{10}}{{\left( {588-3{{t}^{2}}} \right)dt}}$

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng)

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận mà nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2180 (triệu đồng)