Dạng toán (12): Toán thực tế (Trả lời ngắn)

(T0144) Một nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B, nhà máy A chỉ bán sản phẩm cho nhà máy B và nhà máy B cam kết thu mua hết số sản phẩm mà nhà máy A sản xuất được. Nhà máy A có khả năng sản xuất được tối đa là 200 tấn sản phẩm trong 1 tháng. Nếu bán ra x tấn sản phẩm cho nhà máy B thì giá bán mỗi tấn sản phẩm là $latex 50-0,0002{{x}^{2}}$ triệu đồng. Trong một tháng nhà máy A phải chi phí cho nhân công và chi cho khấu hao máy móc một lượng cố định là 150 triệu đồng, ngoài ra khi sản xuất mỗi tấn sản phẩm thì nhà máy phải chi phí thêm cho mua nguyên liệu là 39 triệu đồng. Biết rằng nhà máy A phải nộp 5% doanh thu cho cơ quan thuế. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu tháng để lợi nhuận sau thuế (lợi nhuận sau khi đã trừ tiền thuế) của nhà máy A đạt trên 10 tỷ đồng (đơn vị tính là tỉ đồng và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một công ty sản xuất ra x sản phẩm với giá bán một sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản xuất được mô hình hóa theo phương trình $latex p\left( x \right)=1312-2x$. Tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm là $latex \displaystyle C(x)={{x}^{3}}-77{{x}^{2}}+1000x+100.$ Hãy tìm số sản phẩm cần sản xuất để công ty có lợi nhuận cao nhất?

Một cửa hàng kinh doanh trung bình bán được 700 máy điều hòa mỗi tháng với giá 15 triệu đồng một máy. Một cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 1 triệu đồng, số lượng máy điều hòa bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 máy mỗi tháng. Biết hàm chi phí hàng tháng là $latex C\left( x \right)=14000-3x$ (triệu đồng), trong đó x là số máy điều hòa bán ra trong tháng, cửa hàng nên đặt giá bán bao nhiêu để lợi nhuận là lớn nhất? (đơn vị là triệu đồng).

Một cửa hàng phân phối gạo với chi phí mua vào là 30 nghìn đồng/1kg, bán ra là 35 nghìn đồng/1kg.Với giá bán này thì số gạo bán được trong một tháng là 12000kg. Để đẩy mạnh hơn nữa doanh số tiêu thụ gạo trong một tháng, cửa hàng dự định giảm giá bán và ước tính rằng nếu giảm 1 nghìn đồng/1kg thì số lượng gạo bán ra trong một tháng sẽ tăng thêm 4000kg. Cửa hàng phải định giá bán gạo mới là bao nhiêu nghìn đồng một kilôgam thì lợi nhuận thu được trong tháng cao nhất?

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C như hình bên dưới. Khoảng cách từ  C đến  đất liền là CB bằng 4 km ( B là hình chiếu vuông góc của C lên AB) . Bờ biển chạy thẳng  từ B đến A với khoảng cách là 10km. Tổng chi phí lắp đặt 1km dây điện trên biển là 50 triệu đồng, còn trên đất liền là 30 triệu đồng. Khi tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất  thì khoảng cách giữa điểm M (điểm nối dây từ đất liền ra đảo) và điểm A là  a(km). Em hãy cho biết giá trị  a bằng bao nhiêu ( kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) ?

Hai sinh viên Thành và Linh rủ nhau mở một công ty vận tải taxi điện ( Sử dụng nguồn cung sẵn có trong nước với nhiều ưu đãi khuyến khích phát triển loại phương tiện này). Hai bạn Thành và Linh dự định sử dụng không quá 10 xe. Nếu công ty sử dụng tối đa thời gian hoạt động của x xe điện trên $latex 1\le x\le 10,x\in \mathbb{N}$ thì doanh thu nhận được của số xe đó là $latex D\left( x \right)={{x}^{3}}-4597{{x}^{2}}+50300x+30000$ ( triệu đồng), trong khi chi phí nạp điện, bảo dưỡng, phí cầu đường,thuế và thuê nhân công lái xe bình quân cho mỗi xe là $latex C\left( x \right)=3x+300+\frac{{30000}}{x}$ (triệu đồng). Hai bạn Thành và Linh cần ưu tiên tối đa cho bao nhiêu xe hoạt động thường xuyên để lợi nhuận công ty thu được là lớn nhất?

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm sản xuất mỗi ngày được x mét vải lụa ($latex 1\le x\le 20$). Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa cho bởi hàm chi phí $latex C\left( x \right)=\frac{{23}}{{36}}{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+200$ (tính bằng nghìn đồng). Giá của vải lụa tơ tằm là 300 nghìn đồng/mét và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm làm ra trong một ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày thì hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa.

Một hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm mỗi ngày sản xuất được x mét vải lụa $latex \left( {1\le x\le 19} \right)$. Tổng chi phí sản xuất x mét vải lụa cho bởi công thức $latex C\left( x \right)=\frac{{{{x}^{3}}}}{3}+4{{x}^{2}}+200$ (nghìn đồng). Giá của một mét vải lụa là 240 nghìn đồng và giả sử hộ luôn bán hết số sản phẩm trong ngày. Để đạt lợi nhuận tối đa thì mỗi ngày hộ cần sản xuất bao nhiêu mét vải lụa?

Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất 30 bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là 200 nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?

Một công ty sản xuất ra x sản phẩm với giá bán một sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản xuất được mô hình hóa theo phương trình $latex \displaystyle p(x)=1000-25x.$Tổng chi phí khi sản xuất x sản phẩm là $latex \displaystyle C(x)={{x}^{3}}-100{{x}^{2}}+1000x+150.$ Hãy tìm số sản phẩm cần sản xuất để công ty có lợi nhuận cao nhất?

Một cửa hàng trung bình bán được 100 cái tivi mỗi tháng với giá 14 triệu đồng một cái. Chủ cửa hàng nhận thấy rằng, nếu giảm giá bán mỗi cái 500 ngàn đồng thì số lượng tivi bán ra sẽ tăng thêm 10 cái mỗi tháng. Hỏi cửa hàng nên bán với giá bao nhiêu  triệu đồng để doanh thu cửa hàng là lớn nhất?

Cho một tấm bìa hình vuông có cạnh bằng 30 cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm bìa này bốn hình vuông bằng nhau có cạnh bằng x rồi gập tấm bìa lại như hình bên để được một hình hộp chữ nhật không nắp. Hỏi thể tích khối hộp lớn nhất bằng bao nhiêu (cm³) ?

Để làm một bể cá hình hộp chữ nhật không nắp, chiều cao 50cm, thể tích 180000 cm³, người ta dùng loại kính làm mặt bên giá thành 70000 đồng/m² kính làm mặt đáy giá thành 100000 đồng/m². Chi phí thấp nhất để làm bể cá là bao nhiêu (đơn vị tính: nghìn đồng)?

Một con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố X và Y nằm ở hai bên đối diện của một con sông có chiều rộng đều  bằng 1 km. Thành phố X cách sông 2 km và Y cách sông 4 km, khoảng cách giữa hai hình chiếu vuông góc của X và Y trên bờ sông là $latex {X}'{Y}’=6$km. Một cây cầu sẽ được xây dưng để cho phép giao thông đi qua sông. Vị trí của cây cầu CD cách XX’ là x (km). Tìm x để con đường cần được xây dựng giữa hai thành phố X và Y ngắn nhất?

Bạn Nam có dùng một miếng bìa hình chữ nhật có kích thước chiều dài bằng 90cm và chiều rộng bằng 30cm để gấp thành một chiếc hộp có nắp như hình vẽ. Bạn Nam tiến hành thao tác cắt bỏ hai hình vuông cạnh bằng x (cm) và cắt bỏ hai hình chữ nhật là các phần gạch chéo như hình vẽ. Sau đó gấp theo các đường nét đứt. Hỏi thể tích lớn nhất của chiếc hộp là bao nhiêu centimet vuông? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 40cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất? (làm tròn đến hàng phần mười)

Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30cm và chiều dài 80cm (Hình a), người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh x (cm) với $latex 5\le x\le 10$ và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình b, tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Người ta xây dựng một bể chứa nước sản xuất dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 512 mét khối, đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng. Chi phí xây dựng bể (gạch, cát, xi măng,…) là 500.000 đồng/ m² (chi phí được tính theo diện tích xây dựng; bao gồm diện tích đáy và diện tích xung quanh của bể; coi như không tính chiều dày của đáy và thành bể). Xác định chi phí thấp nhất để xây dựng bể (làm tròn đến đơn vị triệu đồng).

Người ta cần xây dựng một bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 150 mét khối. Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng. Tính chiều rộng của đáy bể bơi để khi thi công tiết kiệm nguyên vật liệu nhất (kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)?

Một trang sách có dạng hình chữ nhật với diện tích là $latex 384\,\,\left( {c{{m}^{2}}} \right)$. Sau khi để lề trên và lề dưới đều là 3cm, để lề trái và lề phải đều là 2cm.  Phần còn lại của trang sách được in chữ. Trang sách có kích thước tối ưu khi phần in chữ trên trang sách có diện tích lớn nhất. Tính chu vi của trang sách khi đạt kích thước tối ưu.

Để thiết kế một chiếc bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao là 60cm , thể tích 96000 centimet khối. Người thợ dùng loại kính để sử dụng làm mặt bên có giá thành 70 nghìn đồng/mét vuông và loại kính để làm mặt đáy có giá thành 100 nghìn đồng/mét vuông. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (đơn vị nghìn đồng, làm tròn đến hàng phần mười)

(T0232) Một nhà hàng có tổng cộng 30 nhân viên và chi trả mức lương cố định cho mỗi nhân viên thường xuyên tăng ca là 400 (USD/tháng). Vì nhà hàng liên tục đón những đoàn khách với số lượng lớn nhưng không thể thuê thêm nhân viên nên chủ nhà hàng này muốn khuyến khích nhân viên của mình tăng ca. Ông chủ quyết định cứ một nhân viên quyết định tăng ca thì mức lương của tất cả nhân viên tăng ca trong nhà hàng đều được tăng thêm 2%. Tương tự, nếu k nhân viên tăng ca thì lương cho mỗi người sẽ tăng 2k%. Bên cạnh tiền lương cho nhân viên thì tiền điện nước và duy trì cơ sở vật chất là cố định 8000 (USD/tháng). Doanh thu trung bình từ khách hàng là 10000 (USD/tháng) và mỗi nhân viên tăng ca trung bình sẽ được khách hàng tip 800 (USD/tháng) (tiền tip phải được nộp lại cho chủ cửa hàng và tính vào doanh thu). Xác định số nhân viên tăng ca cần có để lợi nhuận của nhà hàng đạt lớn nhất.

Anh Hùng thành lập một công ty vận tải taxi điện (Sử dụng nguồn cung sẵn có trong nước với nhiều ưu đãi khuyến khích phát triển loại phương tiện này). Anh dự định sử dụng không quá 10 xe. Nếu công ty sử dụng tối đa thời gian hoạt động của x xe điện trên $latex 1\le x\le 10,\,\,x\in \mathbb{N}$ thì doanh thu nhận được của số xe đó là $latex D\left( x \right)={{x}^{3}}-4597{{x}^{2}}+50300x+30000$ (triệu đồng), trong khi chi phí nạp điện, bảo dưỡng, phí cầu đường, thuế và thuê nhân công lái xe bình quân cho mỗi xe là $latex C(x)=3x+300+\frac{{30000}}{x}$ (triệu đồng). Hỏi anh Hùng cần ưu tiên tối đa cho bao nhiêu xe hoạt động thường xuyên để lợi nhuận công ty thu được là lớn nhất?

Một đội bóng đá thi đấu trong một sân vận động có sức chứa 55 000 khán giả. Với giá mỗi vé là 100 nghìn đồng, số khán giả trung bình là 27 000 người. Qua thăm dò dư luận, người ta thấy rằng mỗi khi giá vé giảm thêm 10 nghìn đồng, sẽ có thêm khoảng 3000 khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu từ tiền bán vé là lớn nhất?

Người quản lí của một khu chung cư có 100 căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê một căn hộ là 8 triệu đồng một tháng. Một cuộc khảo sát thị trường cho thấy rằng, trung bình cứ mỗi lần tăng giá thuê căn hộ thêm 100 nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu là lớn nhất?

(T0227) Một doanh nghiệp sản xuất đồ gỗ nội thất cần mỗi ngày 5 khối gỗ để làm các sản phẩm nội thất. Chi phí một lần vận chuyển gỗ từ cơ sở cung cấp gỗ đến nơi sản xuất của doanh nghiệp là 8 triệu đồng, chi phí lưu kho tại doanh nghiệp của 1 khối gỗ là 200 ngàn đồng trên ngày. Mỗi lần vận chuyển, gỗ sẽ được đưa đến đầu ngày làm việc và lượng gỗ được vận chuyển vừa đủ cho doanh nghiệp sử dụng từ ngày hôm đó cho đến lần vận chuyển tiếp theo. Hỏi doanh nghiệp cần vận chuyển gỗ mấy ngày một lần để chi phí trung bình trong một ngày là nhỏ nhất?

Một xưởng công nghệ chuyên sản xuất máy tính bảng giáo dục cung cấp cho các trường học. Xưởng thỏa thuận cung cấp số lượng sản phẩm hàng tháng theo đơn đặt hàng, nhưng tối đa không vượt quá 100 lô hàng. Nếu số lượng đặt hàng là x (lô) thì giá bán của mỗi lô sản phẩm được xác định bởi hàm số $latex P(x)=140-0,01{{x}^{2}}$ (triệu đồng). Biết rằng chi phí để xưởng sản xuất x lô sản phẩm trong một tháng là $latex C(x)=200+32x$ (triệu đồng) (bao gồm 200 triệu đồng chi phí cố định vận hành máy móc và 32 triệu đồng chi phí sản xuất cho mỗi lô). Hỏi lợi nhuận lớn nhất mà xưởng có thể thu được mỗi tháng là bao nhiêu triệu đồng?

Khi xây dựng một căn nhà, chủ đầu tư dự định thi công thêm một lớp tường rỗng cách ẩm. Lớp tường này có tuổi thọ sử dụng 10 năm. Chi phí thi công là 5 triệu đồng cho mỗi cm độ dày của lớp tường rỗng. Chi phí điện năng tiêu thụ trung bình mỗi năm cho hệ thống máy hút ẩm của toàn bộ căn nhà là C (triệu đồng) phụ thuộc vào độ dày lớp tường rỗng x (đơn vị: cm) theo công thức $latex C\left( x \right)=\frac{k}{{2x+2}}$ $latex \left( {0\le x\le 10} \right)$, k là hằng số. Biết rằng, nếu không thi công lớp tường rỗng cách ẩm, chi phí điện năng cho máy hút ẩm mỗi năm sẽ lên tới 18 triệu đồng. Gọi $latex f\left( x \right)$ là tổng chi phí thi công lớp cách ẩm và chi phí vận hành máy hút ẩm trong 10 năm. Hỏi cần thiết kế lớp tường rỗng dày bao nhiêu cm để tổng chi phí $latex f\left( x \right)$ nhỏ nhất.

Một công ty du lịch chuyên tổ chức các Tour Trải nghiệm – khám phá, đặt hàng cho một cơ sở sản xuất lều bạt 10 chiếc lều bạt du lịch giống hệt nhau, hình chóp đều mà thể tích trong mỗi chiếc lều là 18 mét khối, đơn giá tính theo diện tích bạt sử dụng là 500 nghìn đồng/mét vuông (không tính đến đường viền, nếp gấp và lều không may bạt ở đáy). Hỏi số tiền ît nhất mà công ty du lịch phải trả cho cơ sở sản xuất lều bạt là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

(T0212) Việt Nam đang triển khai dự án đường sắt tốc độ cao chặng Thành phố  Hồ Chí Minh – Nha Trang với tổng chiều dài quãng đường là 375 km. Tổng công ty đường sắt cần xác định vận tốc khai thác v (km/h) cho đoàn tàu ($latex 200\le v\le 350$) để đạt lợi nhuận cao nhất cho mỗi chuyến tàu. Qua các số liệu tính toán kỹ thuật và khảo sát thị trường, ta có các thông tin sau: Chi phí điện năng tiêu thụ cho toàn bộ hành trình 375km được tính toán chính xác theo công thức $latex {{C}_{1}}\left( v \right)=15{{v}^{2}}$ (nghìn đồng). Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân sự, khẩu hao thiết bị và bảo trì đường ray tính cho mỗi giờ tàu chạy là 250 triệu đồng/giờ. Số lượng khách mua về cho mỗi chuyến tàu phụ thuộc vào vận tốc v theo hàm số $latex N\left( v \right)=4v$ (khách). Giá vé bình quân cố định cho toàn chặng là 1 500 000 đồng/khách. Xác định vận tốc khai thác v để lợi nhuận ròng của một chuyến tàu là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

(T0218) Một nhà máy tung ra thị trường dòng drone phun thuốc tự động. Nhà máy có công suất tối đa 350 chiếc/quý. Phòng kinh doanh đưa ra hai tham số tài chính quan trọng cho việc sản xuất và tiêu thụ hết $latex \displaystyle x\left( {x\in \mathbb{N}*,x\le 350} \right)$ chiếc drone trong một quý như sau:

Giá bán mỗi chiếc drone được xác định theo hàm cầu: $latex \displaystyle P\left( x \right)=120-0,2x$ (đơn vị: triệu đồng/chiếc).Chi phí vận hành cố định: 1000 triệu đồng. Chi phí linh kiện: Giá gốc là 50 triệu đồng/chiếc, nếu sản xuất trên 100 chiếc thì chi phí linh kiện giảm xuống chỉ còn 40 triệu đồng/chiếc (áp dụng cho toàn bộ lô hàng).Lợi nhuận sau thuế nhà máy lớn nhất đạt bao nhiêu triệu đồng? (Biết thuế 10% tính trên lợi nhuận dương).

(T0154) Hai bạn An và Bình trượt patin trên một mặt sân phẳng, rộng hiện đang lần lượt ở các điểm A và B. Khoảng cách giữa hai người lúc này là 100 mét, sau đó cùng lúc An trượt đi với tốc độ 8 (m/s) theo hướng tạo với AB góc $latex {{60}^{0}}$ và Bình trượt đi theo hướng gặp được An với vận tốc không đổi.

Hỏi vận tốc tối thiểu của Bình là bao nhiêu m/s để An và Bình gặp nhau? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Chào đón năm mới 2026, thành phố trang trí đèn LED biểu tượng hình chữ V được ghép từ các thanh AB = 4 mét, AC = 5 mét sao cho tam giác ABC vuông tại B. Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi LED chạy từ B đến A với vận tốc 4 (mét/phút) và một chuỗi LED chạy từ A lên C với vận tốc 10 (mét/phút). Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi LED đồng thời xuất phát.

Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầu tiên của hai chuỗi LED là nhỏ nhất.

(T0153) Một xí nghiệp chế biến café bán trong nước và xuất khẩu ra nước ngoài. Nếu giá sản xuất mỗi kg café là x (USD) thì sản lượng xí nghiệp sản xuất được là $latex \left( {2000x-150} \right)$ (kg) và lượng tiêu thụ trong nước là $latex \left( {4000-500x} \right)$ (kg). Phần cafe dư sẽ được xuất khẩu với giá cố định là 10 USD/kg. Biết rằng với mỗi kg café xuất khẩu thì xí nghiệp phải chịu thuế là 0,5 USD. Hỏi giá sản xuất mỗi kg café của xí nghiệp là bao nhiêu để lợi nhuận thu được từ xuất khẩu là lớn nhất?

(T0180) Một công ty đang triển khai chiến dịch quảng cáo sản phẩm mới. Số tiền đầu tư quảng cáo là A (triệu đồng). Theo kết quả nghiên cứu thị trường, số lượng sản phẩm bán ra (đơn vị: sản phẩm) phụ thuộc vào chi phí quảng cáo theo hàm $latex q\left( A \right)=1000+\frac{{1013}}{5}\ln \left( {1+A} \right)$. Biết rằng chi phí sản xuất mỗi sản phẩm là 10 triệu đồng và giá bán mỗi sản phẩm là 20 triệu đồng. Giá trị lợi nhuận tối đa mà công ty có thể đạt được là bao nhiêu tỉ đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hai nhà máy sản xuất đặt tại các vị trí A và B cách nhau 4km. Một nhà máy cung cấp nước được đặt ở vị trí C nằm trên đường trung trực của đoạn AB, cách trung điểm M của đoạn thẳng AB một khoảng 4km. Người ta muốn làm một đường ống dẫn nước từ nhà máy nước C đến một vị trí I nằm giữa đoạn thẳng MC sau đó chia ra hai nhánh dẫn tới hai nhà máy A và B. Tổng độ dài đường ống dẫn nước nhỏ nhất bằng bao nhiêu km? (làm tròn đến hàng phần trăm)

Sản lượng táo trên mỗi cây khi thu hoạch lệ thuộc vào mật độ cây trồng. Với cùng một phương pháp chăm sóc như nhau, nếu trên mỗi sào đất được trồng n cây táo thì người ta ước tính trung bình sản lượng táo khi thu hoạch là $latex f\left( n \right)=-0,06{{n}^{2}}-0,4n+320$ (kg/cây) (1 sào ở Trung bộ là 500 mét vuông). Biết rằng bình quân chi phí giống và chăm sóc cho mỗi kg táo từ lúc trồng cho đến khi thu hoạch là 560 nghìn đồng mỗi cây. Giá bán mỗi kg táo là 50 nghìn đồng/kg, với giá bán này thì tất cả lượng táo thu hoạch được đều bán hết. Em hãy cho biết nên trồng trung bình bao nhiêu cây táo trên mỗi sào để mang về lợi nhuận cao nhất?

(T0173) Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nều chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là x (đơn vị tiền tệ) thì số sản phẩm T các nhà máy sản xuất là $latex R\left( x \right)=x-200$ và số sản phẩm T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $latex Q\left( x \right)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $latex {{x}_{0}}=3200$ (đơn vị tiền tệ). Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là a (đơn vị tiền tệ) và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là 4:1. Giá trị của a bằng bao nhiêu để lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất?

Một màn hình BC có chiều cao 1,4 mét được đặt thẳng đứng và mép dưới của màn hình cách mặt đất một khoảng AB = 1,8 mét. Một chiếc đèn quan sát màn hình được đặt tại vị trí O trên mặt đất.

Hãy xác định khoảng cách OA sao cho góc quan sát BOC là lớn nhất (làm tròn đến hàng phần chục)

Một trung tâm thương mại bán 2500 ti vi mỗi năm. Chi phí gửi trong kho là 100 nghìn đồng một cái ti vi mỗi năm. Để đặt hàng, chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 200 nghìn đồng cộng thêm 90 nghìn đồng mỗi cái tivi. Trung tâm nên đặt hàng n lần trong mỗi năm và mỗi lần m cái để chi phí hàng tồn kho là ít nhất. Biết rằng mỗi lần đặt hàng về chỉ có một nửa trong số đó được trưng bày ở cửa hàng. Tính giá trị của biểu thức $latex T=20m+25n$

Một cơ sở sản xuất hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa 300 lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất x lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là 1 triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là 35 nghìn đồng cho một lít sữa; chi phí bảo dưỡng máy móc là $latex {{C}_{b}}\left( x \right)=0,00001{{x}^{2}}$ (triệu đồng). Ngoài ra, nếu x lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt 200 lít thì phát sinh thêm chi phí vận hành quá tải là $latex {{C}_{v}}\left( x \right)=0,00003{{\left( {x-200} \right)}^{3}}$ (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là 60 nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

(T0176) Một công ty sản xuất đồ điện tử nhận được đơn đặt hàng sản xuất 5000 chiếc tại nghe không dây. Công ty này sở hữu một số dây chuyền sản xuất tự động. Mỗi dây chuyển có thể sản xuất 25 chiếc tai nghe trong 1 giờ. Chi phí thiết lập (cài đặt, lập trình) mỗi dây chuyền là 150 nghìn đồng. Chi phí này chỉ trả một lần cho mỗi dây chuyền được sử dụng. Khi đã được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát của một kỹ thuật viên. Chi phí thuê kỹ thuật viên giám sát là 200 nghìn đồng mỗi giờ (tính cho toàn bộ quá trình sản xuất). Công ty nên sử dụng bao nhiêu dây chuyền sản xuất để tổng chi phí (chi phí thiết lập và chi phí giám sát) cho việc hoàn thành đơn hàng là thấp nhất.

Một tập đoàn dự định đầu tư tổng số vốn là 20 tỷ đồng để phát triển hai dự án công nghệ A và B. Biết rằng khoản chi phí cơ sở hạ tầng cố định ban đầu là 4 tỷ đồng. Số vốn còn lại được phân bổ cho hai dự án A và B. Lợi nhuận kỳ vọng của dự án A khi đầu tư x tỷ đồng là $latex {{L}_{A}}\left( x \right)=-{{x}^{2}}+12x$. Lợi nhuận kỳ vọng của dự án B khi đầu tư y tỉ đồng là $latex {{L}_{B}}\left( y \right)=-{{y}^{2}}+20y$. Để tổng lợi nhuận kỳ vọng đạt giá trị lớn nhất thì tập đoàn nên phân bổ vốn cho dự án A bao nhiêu tỉ đồng?

(T0178) Công ty X cần vận chuyển một lượng lớn hàng hóa từ nhà kho A đến cửa hàng B, lượng hàng hóa chia ra thành nhiều chuyến đi bằng một xe tải có tải trọng tối đa là 50 tấn. Công ty cần tính toàn để tối ưu hóa tốc độ vận chuyển hàng hóa của xe. Biết rằng để bốc xếp x tấn hàng hóa từ nhà kho A lên xe cần thời gian $latex \frac{x}{{60-x}}$ giờ. Sau khi xe đến B, để di chuyển mỗi tấn hàng từ xe xuống cửa hàng B cần thời gian 3 phút.  Tổng thời gian trung bình di chuyển từ nhà kho A đến cửa hàng B và quay về A là 1,5 giờ. Em hãy cho biết trong mỗi chuyến đi, xe nên vận chuyển bao nhiêu tấn hàng để khối lượng hàng hóa được vận chuyển trung bình trên mỗi giờ là lớn nhất? (làm tròn đến hàng phần mười)

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết x sản phẩm ($latex 0<x\le 2500$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $latex f\left( x \right)=2006x-{{x}^{2}}$ và tổng chi phí là $latex g\left( x \right)={{x}^{2}}+1438x-1209$ (nghìn đồng). Giả sử mực thuế phụ thu trên một đơn vị sản phẩm bán được là t (nghìn đồng) ($latex 0<t<320$). Giá trị của t bằng bao nhiêu nghìn đồng để nhà nước nhận được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng nhận được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế phụ thu đó?

Một trang trại rau sạch ở Đà Lạt mỗi ngày thu hoach được 1 tấn rau. Mỗi ngày, nếu giá bán rau là 30 nghìn đồng/kg thì bán hết rau, nếu giá bán tăng thêm 1 nghìn đồng/kg thì số rau thừa tăng 20kg. Số rau thừa này được thu mua hết để làm thức ăn chăn nuôi với giá 2 nghìn đồng/kg. Hỏi để mỗi ngày thu được số tiền bán rau lớn nhất thì trang trại đó nên bán rau với giá bao nhiêu nghìn đồng?

Khi xây nhà, chủ nhà cần làm một bồn nước bằng gạch và xi măng có dạng hình hộp đứng đáy là hình chữ nhật có chiều rộng là x (mét), chiều dài gấp 2 lần chiều rộng và không nắp, chiều cao là h (mét), có thể tích là $latex \frac{4}{3}$ mét khối. Tìm chiều rộng của đáy hình chữ nhật để chi phí xây dựng là thấp nhất

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ vị trí A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo. Khoảng cách từ điểm B đến bờ biển là BH = 6km. Giá tiền để xây dựng đường ống trên bờ là 50.000 USD mỗi km và giá tiền xây dựng đường ống trên biển là 130.000 USD mỗi km, biết rằng AH = 9km. Xác định vị trí điểm C trên đoạn AH để khi lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ACB thì chi phí công ty bỏ ra là thấp nhất.

Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe máy các loại. Hiện nay doanh nghiệp đang tập trung vào chiến lược kinh doanh xe X với chi phí mua vào một chiếc là 27 triệu đồng và bán ra với giá 31 triệu đồng. Với giá bán này, số lượng xe mà khách hàng đã mua trong một năm là 600 chiếc. Nhằm mục tiêu đẩy mạnh hơn nữa lượng tiêu thụ dòng xe đang bán chạy này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán. Bộ phận nghiên cứu thị trường ước tính rằng nếu giảm 1 triệu đồng mỗi chiếc xe thì số lượng xe bán ra trong một năm sẽ tăng thêm 200 chiếc. Hỏi theo đó, giá bán mới là bao nhiêu thì lợi nhuận thu được cao nhất?

Một trung tâm quần vợt dự định xây một cụm sân quần vợt liền kề. Trung tâm dùng 1,28 triệu USD để mua khu đất có diện tích 10000 mét vuông. Diện tích xây dựng mỗi sân là 1000 mét vuông. Chi phí xây dựng trung bình trên mỗi mét vuông của tổng diện tích xây dựng phụ thuộc vào số sân. Khi trung tâm xây dựng x sân (x là số nguyên dương) thì chi phí xây dựng trung bình trên mỗi mét vuông được xấp xỉ bởi $latex f\left( x \right)=800\left( {1+\frac{1}{5}\ln x} \right)$ (USD). Hỏi trung tâm nên xây bao nhiêu sân để “chi phí tổng hợp trên mỗi mét vuông” nhỏ nhất (chi phí tổng hợp = chi phí xây dựng + chi phí mua đất)

(T0163) Một chiếc thuyền đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) theo hướng từ Nam lên Bắc trên mặt hồ. Trên cây cầu nằm cách mặt hồ 20 mét theo phương thẳng đứng có một chiếc ô tô chuyển động đều với vận tốc 20 (m/s) theo hướng từ Tây sang Đông

Như hình vẽ, tại thời điểm hiện tại, thuyền ở vị trí cách điểm P (nằm dưới cầu) 40 mét theo phương Nam, còn ô tô ở vị trí cách điểm Q (trên cầu) 30 mét theo phương Tây. Khoảng cách giữa thuyền và ô tô đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét? (bỏ qua kích thước của thuyền và ô tô; đoạn thẳng PQ luôn vuông góc với hướng chuyển động của cả thuyền và ô tô)

Một công ty du lịch chuyên tổ chức các Tour Trải nghiệm – khám phá, đặt hàng cho một cơ sở sản xuất lều bạt một lô hàng gồm 10 chiếc lều bạt du lịch giống hệt nhau, hình chóp tứ giác đều mà thể tích trong chiếc lều là 18 (mét khối), đơn giá tính theo diện tích bạt sử dụng là 500 nghìn đồng/mét vuông. Hỏi số tiền ít nhất mà công ty du lịch phải trả cho cơ sở sản xuất lều bạt là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)

(T0162) Công ty công nghệ chuyên sản xuất chip điện tử. Chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm được xác định bởi hàm số $latex \displaystyle C\left( x \right)=0,1{{x}^{2}}+100x+20000$ (USD). Một tập đoàn viễn thông ký hợp đồng mua sản phẩm vơi mức giá như sau: 1000 sản phẩm đầu tiên được bao tiêu với giá 650 USD/sản phẩm. Từ sản phẩm thứ 1001 trở đi, giá thu mua giảm xuống còn 450 USD/sản phẩm. Do việc sản xuất quá nhiều chip có thể gây quá tải cho hệ thống xử lý chất thải của khu công nghiệp. Vì vậy, cơ quan thuế nhà nước đã áp dụng một mức thuế phụ thu t (USD) trên mỗi đơn vị sản phẩm, nhưng chỉ tính từ sản phẩm thứ 1001 trở đi. Để cơ quan thuế thu được số tiền thuế phụ lớn nhất thì công ty công nghệ cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận lớn nhất?

(T0160) Ở Trung Quốc, một hãng điện thoại nội địa nhằm đáp ứng nhu cầu thị trường, mỗi năm đều nghiên cứu và cho ra mắt một mẫu điện thoại thông minh mới. Hiện công ty đã nghiên cứu thành công một mẫu điện thoại thông minh mới và đưa vào sản xuất. Chi phí cố định mỗi tháng để sản xuất mẫu điện thoại này là 80 (vạn tệ); cứ sản xuất thêm 1 nghìn chiếc thì cần thêm 27 (vạn tệ). Giả sử mỗi thàng công ty sản xuất x (nghìn chiếc) và bán hết toàn bộ. Doanh thu bán hàng ứng với mỗi 1 nghìn chiếc là R(x) (vạn tệ) theo quy luật.

Nếu $ \displaystyle 0<x\le 10$ thì $ \displaystyle R\left( x \right)=108-\frac{1}{3}{{x}^{2}}$

Nếu $ \displaystyle x>10$ thì $ \displaystyle R\left( x \right)=\frac{{1080}}{x}-\frac{{10000}}{{3{{x}^{2}}}}$

Để quảng bá sản phẩm tốt hơn, mỗi tháng công ty còn thêm chi phí quảng cáo 20 (vạn tệ). Khi sản lượng tháng bằng bao nhiêu (nghìn chiếc) thì lợi nhuận tháng đạt lớn nhất?

Một công ty vận tải có thể huy động tối đa 10 xe tải để chuyển 60 tấn hàng hóa đến một địa điểm. Mỗi xe tải có thể chở 3 tấn hàng trong một chuyến đi (có thể đi nhiều chuyến) và mất 1 giờ để hoàn tất một chuyến. Chi phí khởi động để điều một xe tải là 100 nghìn đồng. Ngoài ra, khi cùng chạy, n xe tải tốn chi phí nhiên liệu mỗi giờ là $ \displaystyle 15\left( {2n+5} \right)$ nghìn đồng. Công ty đang tính toán để sử dụng một số lượng xe tải sao cho tổng chi phí vận chuyển là thấp nhất. Vậy chi phí thấp nhất ấy là bao nhiêu nghìn đồng cho đợt vận chuyển hàng nói trên?

Một đoàn cứu trợ lũ lụt đang ở vị trí A của một tỉnh miền trung muốn đến xã C để tiếp tế lương thực và thuốc men. Để đi đến C, đoàn cứu trợ phải chèo thuyền từ A đến vị trí D với vận tốc 5 km/h, rồi đi bộ đến C với vận tốc 6km/h. Biết A cách B một khoảng 5km, B cách C một khoảng 8km. Hỏi vị trí D cách A bao nhiêu km để đoàn cứu trợ đi đến xã C nhanh nhất (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Nếu một doanh nghiệp sản xuất x sản phẩm trong 1 tháng ($latex \left( {x\in {{\mathbb{N}}^{*}},1\le x\le 5000} \right)$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $latex F\left( x \right)=-0,03{{x}^{2}}+800x$ (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm $latex G\left( x \right)=\frac{{50000}}{x}+450$ (nghìn đồng). Giả sử số sản phẩm sản xuất ra luôn bán hết. Trong một tháng, doanh nghiệp đó cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được lớn hơn 100 triệu đồng?

Bạn Minh dùng một miếng bìa hình vuông ABCD cạnh bằng 40cm và cắt thành hình như hình vẽ để làm chiếc đèn lồng gồm ba phần: Phần thân của đèn là một hình lăng trụ tứ giác đều, hai đầu của chiếc đèn là hai hình chóp tứ giác đều. Biết $latex \displaystyle AH=KD$.

Thể tích lớn nhất của chiếc đèn bằng bao nhiêu $latex c{{m}^{3}}$? (Không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị).