Bài (12): Bài 15. Phương trình đường thẳng

Một công ty xây dựng đang lên kế hoạch thiết kế một tòa nhà chọc trời trong khu đô thị mới. Để đảm bảo an toàn và sẵn sàng cho các tình huống khẩn cấp, công ty muốn thiết kế đường bay tối ưu cho trực thăng cứu hộ tiếp cận đỉnh tòa nhà. Giả sử tòa nhà được xây dựng với đỉnh tòa nhà $latex T\left( {40;60;150} \right)$ trong hệ tọa độ không gian Oxyz, với O là gốc tọa độ nằm trên mặt đất. Trực thăng cứu hộ khởi hành từ sân bay tại điểm $latex X\left( {100;-40;0} \right)$. Một người A đứng trong tầng nào đó của tòa nhà có tọa độ là $latex A\left( {40;30;-20} \right)$. Gọi phương trình đường thẳng d mô tả đường bay tối ưu của trực thăng cứu hộ từ điểm X đến đỉnh tòa nhà T và $latex M\left( {a;b;c} \right)$ là điểm thuộc đường bay của trực thăng cứu hộ để khoảng cách từ M đến A ngắn nhất. Tính giá trị $latex a+b+c$

Đáp án

100

Một sân bóng đá tiêu chuẩn có dạng hình chữ nhật với kích thước đường biên ngang là 68 mét; có khung thành rộng 7,32 mét và cao 2,44 mét nằm ở chính giữa đường biên ngang. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O là điểm đá phạt góc, trục Ox nằm trên đường biên ngang, trục Oy nằm trên đường biên dọc, trục Oz vuông góc với sân bóng, đơn vị trên mỗi trục là mét (tham khảo hình vẽ). Một quả bóng được đá từ vị trí $latex P\left( {6\,;\,22\,;\,0} \right)$ với vận tốc 28 (mét/giây) theo hướng của vectơ $latex \overrightarrow{v}=\left( {15\,;-11\,;\,1} \right)$ về phía khung thành. Giả sử quả bóng là một điểm, quỹ đạo bay của quả bóng là một đường thẳng và khung thành là một phần của mặt phẳng (Oxz).

Thời gian bóng từ vị trí điểm P đến khung thành là bao nhiêu giây? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án

1,33 giây

Một trạm X có chức năng thu – phát sóng điện thoại: Bán kính phủ sóng của trạm X là 2km. Chọn hệ trục Oxyz sao cho O trùng với trạm X và đơn vị độ dài trên mỗi trục tọa độ là 1km. Từ một nơi nằm ngoài vùng phủ sóng của trạm X, bạn An đi xuyên qua khu vực trạm X phủ sóng và đi trên một con đường dạng đường thẳng có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 1 – t\\ z = \sqrt 3 \end{array} \right.$. Quãng đường bạn An đi vào vùng phủ sóng của trạm X bằng bao nhiêu km? (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Đáp án

1,4

Trong hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là ki-lô-mét), đài kiểm soát không lưu sân bay Cam Ranh – Khánh Hòa ở vị trí O(0; 0; 0) và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa 600km. Một máy bay của hãng Việt Nam Airlines đang chuyển động theo đường thẳng d có phương trình $\left\{ \begin{array}{l} x = – 1000 + 100t\\ y = – 200 + 8t\\ z = 10 \end{array} \right.$ và hướng về đài kiểm soát không lưu như hình vẽ. Tính quãng đường mà máy bay nhận được tín hiệu của đài kiểm soát không lưu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án

749

Trong không gian Oxyz, giả sử bề mặt trái đất (S) có phương trình $latex {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ (đơn vị trên mỗi trục là chục nghìn km). Từ vị trí $latex A\left( {\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{{\sqrt{2}}}} \right)$, người ta dự định đào một đường hầm xuyên qua lòng đất theo hướng $latex \vec{v}=\left( {2;2;-3} \right)$. Tính độ dài của đường hầm cần đào (làm tròn hàng đơn vị km).

Đáp án

588

Mô phỏng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km), một máy bay đang ở vị trí $latex A\left( {6;-8;-1} \right)$ và sẽ hạ cánh ở điểm có tọa độ $latex O\left( {0;0;0} \right)$ trên đường băng. Có một lớp mây mỏng được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm $latex P\left( {12;0;0} \right),Q\left( {0;-12;0} \right)$ và $latex R\left( {0;0;1,2} \right)$. Tính khoảng cách giữa máy bay khi xuyên qua lớp mây với vị trí hạ cánh (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm của km).

Đáp án

5,02

Người ta thiết kế một dây cáp chạy thẳng từ điểm X ở trên mặt đất tới đỉnh T của một tòa tháp. Giả sử tọa độ của các điểm là $latex T\left( {40;60;150} \right)$ và $latex X\left( {100;-40;0} \right)$ trong hệ tọa độ Oxyz với O là gốc tọa độ đặt tại mặt đất. Người ta muốn nối điểm $latex A\left( {40;30;-20} \right)$ nằm dưới một cái hố tới một điểm $latex M\left( {a;b;c} \right)$ nằm trên sợi dây cáp sao cho khoảng cách MA này ngắn nhất. Tính giá trị $latex a+b+c$

Đáp án

100

Trên một sườn núi, người ta trồng một vây thông và muốn giữ nó không bị nghiên bằng hai sợi dây neo như hình vẽ. Giả thiết cây thông mọc thẳng đứng và trong một hệ tọa độ phù hợp, các điểm gốc O và A, B có tọa độ tương ứng là O(0; 0; 0), A(5; -3; 1), B(-3; -4; 2), đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết rằng hai dây neo đều được buộc vào cây thông tại điểm C(0; 0; 5) và được kéo căng tạo thành các đoạn thẳng. Khi đó góc tạo bởi dây neo AC và mặt phẳng sườn núi là bao nhiêu độ? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị độ)

Đáp án

40 độ

Một người thợ mộc có một khối gỗ hình hộp chữ nhật OABC.GDEF có kích thước $latex OA=OG=30cm$ và $latex OC=60cm$. Gắn hệ trục tọa độ Oxyz với 1 đơn vị trên trục tọa độ tương ứng 10cm. Người thợ mộc có ý định khoan khối gỗ tại điểm M là trọng tâm của tam giác DGF và tiến hành khoan theo hướng của $latex \overrightarrow{{FA}}$. Tính độ dài người thợ mộc phải khoan để xuyên thủng khối gỗ đó.

Đáp án

$latex \displaystyle \sqrt{6}$

Một bể cá đầy nước có dạng hình hộp chữ nhật ABCD.EFGH với AB = 6, AD = 8 và cạnh bên bằng 10. Một chú cá con bơi theo những đoạn thẳng từ điểm G đến chạm mặt đáy của hồ rồi từ điểm đó bơi đến vị trí điểm M là trung điểm của AF được mô hình hóa như hình vẽ sau

Để đường đi ngắn nhất thì chú cá bơi đến điểm dưới đáy hồ cách AB và BC những đoạn a và b. Tính tổng D = 3a + 6b

Đáp án

20

Phòng khách nhà bác An có dạng một hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với $latex AB=5m,\,\,BC=6m,\,\,AA’=3m$. Để chuẩn bị đón Tết Nguyên Đán bác lên kế hoạch trang trí cho phần không gian của phòng khách bằng các dây đèn trang trí NC, BM, EF được mắc như các hình vẽ sau

Biết EF song song với AC và $latex BN=2m,\,\,DM=1m$. Giá mỗi dây đèn trang trí là 120 nghìn đồng. Hỏi số tiền bác An cần dùng để mua dây đèn trang trí là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Đáp án

2,1 triệu đồng

Một chiếc trực thăng bay trong điều kiện tầm nhìn kém tiến về phía một sườn núi dốc lên, được mô tả bởi các điểm P(0; 5; 0), Q(5; 10; 2) và R(10; 10; 2)

Trực thăng bay qua các điểm A(1; 6; 1), B(2; 7; 1). Nếu trực thăng tiếp tục giữ nguyên hướng bay hiện tại sẽ va vào sườn núi. Vì để tránh tai nạn, tại điểm B phi công giữ nguyên hướng theo phương x – y nhưng bay lên với góc nâng cao sao cho đường bay song song với sườn núi. Tính góc mà phi công đã thay đổi hướng bay tại điểm B (làm tròn kết quả đến hàng phần mười, đơn vị độ)

Đáp án

15,8 độ

Trực thăng cứu hộ Alpha cất cánh lúc 10 giờ từ điểm xuất phát A. Nó bay thẳng với vận tốc 300 (km/h) tới đỉnh núi D, nơi xảy ra tai nạn. Cùng lúc đó, trực thăng Beta cất cánh từ đỉnh núi T với vận tốc 350 (km/h) để đưa du khách về vị trí B. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với đơn vị trên các trục là km sao cho $latex A\left( {10;6;0} \right),\,\,D\left( {4;-3;3} \right),\,\,T\left( {7;-8;3} \right),\,\,B\left( {4;16;0} \right)$. Cho biết hai trực thăng có đường bay giao nhau tại S. Khi Alpa tới S thì Beta đã đi qua S trước đó một khoảng thời gian bằng bao nhiêu giây? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Đáp án

6,2 giây

Trong không gian Oxyz, đài kiểm soát không lưu sân bay có tọa độ O(0; 0; 0), đơn vị trên mỗi trục là km. Một máy bay chuyển động hướng về đài kiểm soát không lưu, bay qua hai vị trí A(-500; -250; 150) và B(-200; -200; 100). Khi máy bay ở gần đài kiểm soát không lưu nhất thì tọa độ của máy bay là (a; b; c). Tính giá trị của $latex \displaystyle -0,3a-b-c$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Đáp án

89

Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) rùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí A(5; 0; 5) đến vị trí B(10; 10; 3) và hạ cánh tại vị trí M(a; b; 0). Tính giá trị của a + b (viết kết quả dưới dạng số thập phân)

Đáp án

42,5

Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay ở vị trí A(3; – 2; 3) sẽ hạ cánh tới vị trí B(8; 8; 0). Góc giữa đường bay (một phần của đường thẳng AB) và sân bay (một phần của mặt phẳng (Oxy)) bằng bao nhiêu độ? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án

15 độ

Một nguồn âm phát ra sóng âm là sóng cầu (mặt đầu sóng là mặt cầu). Khi gắn trên hệ trục tọa độ Oxyz với đơn vị trên mỗi trục là mét, vị trí nguồn âm có tọa độ (0; -3; -1), cường độ âm chuẩn phát ra có bán kính là 10 mét. Một bạn học sinh di chuyển theo phương thẳng từ vị trí N(7; 10; -4) đến vị trí M(5; 0; 2) để nhận nguồn âm. Khi bạn học sinh đó di chuyển từ N đến M thì vị trí đầu tiên nhận được nguồn âm là H(a; b; c). Tính tổng $latex a+b+c$

Đáp án

10

Xét trong hệ trục tọa độ Oxyz, một khinh khí cầu ở tọa độ A(-16; -10; 10) bắt đầu bay với vectơ vận tốc không đổi là $latex \overrightarrow{v}=\left( {4;3;-1} \right)$ (đơn vị vận tốc là km/h) và dự kiến bay trong thời gian 10 giờ. Biết trạm kiểm soát không lưu được đặt ở vị trí gốc tọa độ O được các vật thể cách trạm một khoảng tối đa bằng 12km. Trạm kiểm soát không lưu có thể quan sát được sự di chuyển của khinh khí cầu trong khoảng thời gian bao nhiêu phút?

Đáp án

240

Trong không gian Oxyz có hai trục Ox, Oy đặt trên mặt đất (coi mặt đất là mặt phẳng), tia Oz hướng lên trên; đơn vị trên các trục tính bằng km. Một ra đa đặt tại điểm $latex A\left( {12;8;3} \right)$ có khả năng phát hiện các thiết bị bay trong vòng bán kính 30km (các thiết bị bay cách ra đa một khoảng không quá 30km sẽ hiển thị hình ảnh trên màn hình ra đa). Một chiếc UAV đang bay từ điểm $latex M\left( {72;28;3} \right)$ đến điểm $latex N\left( {-32;-30;3} \right)$ với vận tốc không đổi là 240 (km/h). Hình ảnh UAV xuất hiện trên màn hình ra đa bao nhiêu phút? (không làm tròn phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)

Đáp án

14 phút