Cho tứ diện ABCD. Gọi M, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Đặt $latex \overrightarrow{{BA}}=\overrightarrow{b},$, $latex \overrightarrow{{AC}}=\overrightarrow{c},$, $latex \overrightarrow{{AD}}=\overrightarrow{d}.$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $latex \overrightarrow{{MP}}=\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}} \right)$
B. $latex \overrightarrow{{MP}}=\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{d}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}} \right)$
C. $latex \overrightarrow{{MP}}=\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{d}} \right)$
D. $latex \overrightarrow{{MP}}=\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}-\overrightarrow{b}} \right)$
(T0237) Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian Oxyz, tỉ lệ dài trên các trục là 10km tính cho một đơn vị tỉ lệ trên mỗi trục, cho bốn vệ tinh có tọa độ lần lượt là $latex A\left( {-1;2;-1} \right),B\left( {1;4;0} \right),C\left( {3;0;9} \right),D\left( {7;10;-1} \right)$ đang tiến hành theo dõi vật thể M (coi là một chất điểm). Các vệ tinh dùng sóng điện từ có tần số 1MHz . Ở một thời điểm cả 4 vệ tinh bắn tín hiệu về M thì sau nhận được tín hiệu trả về ngay sau đó trong những khoảng thời gian là ${t_A} = 0,4{\rm{\;ms}},{t_B} = 0,2{\rm{\;ms}},{t_c} = \frac{2}{3}{\rm{\;ms}},{t_D} = 0,4{\rm{\;ms}}$. Tính khoảng cách từ M đến O (Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c = {3.10^8}$ (m/s) và kết quả tính được làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp án
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tâm I. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Đặt $latex \overrightarrow{{A{C}’}}=\vec{u}$, $latex \overrightarrow{{CA’}}=\vec{v}$, $latex \overrightarrow{{B{D}’}}=\vec{x}$, $latex \overrightarrow{{D{B}’}}=\vec{y}$. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. $latex 2\overrightarrow{{OI}}=\frac{1}{2}\left( {\vec{u}+\vec{v}+\vec{x}+\vec{y}} \right)$
B. $latex 2\overrightarrow{{OI}}=-\frac{1}{2}\left( {\vec{u}+\vec{v}+\vec{x}+\vec{y}} \right)$
C. $latex 2\overrightarrow{{OI}}=\frac{1}{4}\left( {\vec{u}+\vec{v}+\vec{x}+\vec{y}} \right)$
D. $latex 2\overrightarrow{{OI}}=-\frac{1}{4}\left( {\vec{u}+\vec{v}+\vec{x}+\vec{y}} \right)$
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $latex A\left( {3;1;0} \right)$, $latex B\left( {3;6;6} \right)$, $latex C\left( {4;6;2} \right)$ và $latex D\left( {6;2;14} \right)$; vị trí $latex M\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn $latex MA~=~3$, $latex MB~=~6$, $latex MC~=~5$, $latex MD~=~13$. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm O.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Đặt $latex \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{x},\,\,\overrightarrow{{AD}}=\overrightarrow{y},\,\,\overrightarrow{{AA’}}=\overrightarrow{z}$
a) $latex \overrightarrow{{AC’}}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}+\overrightarrow{z}$
b) $latex \overrightarrow{{A’B}}=\overrightarrow{x}+\overrightarrow{z}$
c) Góc giữa hai vectơ $latex \overrightarrow{{BA’}}$ và $latex \overrightarrow{{A’C}}$ bằng $latex {{120}^{0}}$
d) Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó $latex \left| {\overrightarrow{{A’M}}} \right|=\frac{{3a}}{2}$
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có $latex A\left( {1;-1;3} \right),\,\,B\left( {-1;-1;2} \right),\,\,C\left( {-3;-2;2} \right)$. Tính giá trị $latex \cos \widehat{{ABC}}$
Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau và $latex AD=2,\,\,AB=AC=1$. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC và G là trọng tâm của tam giác ABD. Tính độ dài GI (làm tròn đến hàng phần chục).
Trong không gian Oxyz, cho vectơ $latex \vec{u}=\left( {1;1;-\sqrt{2}} \right),\,\,\vec{v}=\left( {1;0;m} \right)$. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để góc giữa hai vectơ $latex \vec{u}$ và $latex \vec{v}$ bằng $latex \displaystyle 60{}^\circ $?
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ tâm O. Gọi I, I’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Khẳng định nào sai?
A. $latex \overrightarrow{{A{C}’}}=\overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{A{A}’}}$
B. $latex \overrightarrow{{OI}}+\overrightarrow{{O{I}’}}=\overrightarrow{0}$
C. $latex \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{A{A}’}}=\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{D{D}’}}$
D. $latex \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{BC}}+\overrightarrow{{C{C}’}}=\overrightarrow{{A{D}’}}+\overrightarrow{{{D}’O}}+\overrightarrow{{O{C}’}}$
Trong không gian chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho trước, trong đó xem mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1km, một ra đa được đặt tại vị trí gốc tọa độ O phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $latex M(500\,;\,200\,;\,10)$ đến điểm $latex N(300\,;\,800\,;\,10)$ trong 40 phút
a) Khoảng cách $latex MN=200\sqrt{{10}}$ (km)
b) Máy bay chiến đấu khi bay từ M đến N luôn cách mặt đất là 10 km.
c) Góc $latex \widehat{{MON}}$ được gọi là góc quét của ra đa khi quan sát máy bay chiến đấu bay từ M đến N. Trong tình huống trên góc quét $latex \widehat{{MON}}$ lớn hơn $latex {{45}^{0}}.$.
d) Khi đến N máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 8 phút tiếp theo là $latex Q(a\,;\,b\,;\,c)$ với $latex a+b+c=1030$
Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’ có $latex AA’=3a,AB=a$. Khi đó cosin của góc giữa hai véc tơ $latex \overrightarrow{{AB’}}$ và $latex \overrightarrow{{A’C}}$ bằng bao nhiêu?
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đơn vị mỗi trục tính bằng km. Một tên lửa phóng từ mặt đất từ vị trí gốc tọa độ O theo hướng, vận tốc không đổi (đặt mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất). Tên lửa đi từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm \(A\left( {140;60;6} \right)\) trong 8 phút
a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường (làm tròn đến hàng đơn vị) xấp xi bằng 152km.
b) Ở phút thứ 4 độ cao của tên lửa là 3km.
c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là \(\left( {210;90;12} \right).\)
d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5km.
Một chiếc container được buộc vào móc S của một chiếc cần cẩu bởi bốn sợi dây cáp không giãn SA, SB, SC, SD có độ dài bằng nhau và cùng nhau tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc $latex 45{}^\circ $ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiếc cần cẩu kéo chiếc contener lên theo phương thẳng đứng. Tính độ lớn lực căng (đơn vị kN) của mỗi sợi dây cáp, biết rằng các lực căng $\overrightarrow F_1 $, $\overrightarrow F_2 $, $\overrightarrow F_3 $, $\overrightarrow F_4 $ trên mỗi sợi dây cáp có độ lớn bằng nhau và trọng lượng của chiếc container là 80kN (Kết quả làm tròn đến một chữ số đằng sau dấu phẩy).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A, B, C biết $latex \overrightarrow{{AB}}=\left( {3;\,-3;\,3} \right)$, $latex \overrightarrow{{AC}}=\left( {-3;\,3;\,-9} \right)$. Điểm M thuộc đoạn BC thoả mãn $latex 2BM=MC$. Gọi (a; b; c) là toạ độ $latex \overrightarrow{{AM}}$. Tính $latex 26a+b-2001c.$
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, O là tâm của đáy ABCD, được gắn vào hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ. Biết cạnh $latex SA=AB=3\sqrt{2}$ và điểm G là trọng tâm tam giác SAB. Khi đó:
a) Độ dài đoạn $latex BG=6\sqrt{2}$
b) $latex \overrightarrow{{OA}}+\overrightarrow{{OB}}+\overrightarrow{{OC}}+\overrightarrow{{OD}}=\overrightarrow{0}$
c) Tọa độ điểm C là $latex \left( {0;6;0} \right)$
d) Nếu $latex K\left( {0;m;n} \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng (Oyz) sao cho $latex KG+KB$ đạt giá trị nhỏ nhất là $latex {{m}^{2}}+{{n}^{2}}=\frac{9}{8}$
Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là 50km, một con tàu vũ trụ bay thẳng từ vị trí A(- 3; 1; 2) đến B(2; 7; – 4) mất 45 phút. Sau đó tàu điều chỉnh hướng bay sao cho chiều chuyển động thẳng lúc này hợp với hướng $latex \overrightarrow{{AB}}$ một góc $latex {{15}^{0}}$, vẫn giữ nguyên vận tốc ban đầu và bay thêm 30 phút nữa thì đến vị trí C. Hỏi khoảng cách thực tế của hai vị trí A, C bằng bao nhiêu km? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hai vectơ $latex \vec{a},\vec{b}$ sao cho $latex \left| {\vec{a}\left| {=\sqrt{2},} \right|\vec{b}} \right|=2$ và hai vectơ $latex \vec{x}=\vec{a}+\vec{b},\vec{y}=2\vec{a}-\vec{b}$ vuông góc với nhau. Tìm số đo góc giữa hai vectơ $latex \vec{a}$ và $latex \vec{b}$ (đơn vị độ).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (Oxy) và (Oxz) lần lượt là $latex {{M}_{1}}\left( {-2;3;0} \right)$ và $latex {{M}_{2}}\left( {-2;0;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm M
Cho tứ diện đều ABCD, gọi M là trung điểm của cạnh BC
a) Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD và I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $latex =3\overrightarrow{{IG}}$. Khi đó $latex \overrightarrow{{IA}}+\overrightarrow{{IB}}+\overrightarrow{{IC}}+\overrightarrow{{ID}}=\overrightarrow{0}$
b) $latex \cos (AB,DM)=\frac{{\sqrt{3}}}{6}.$
c) $latex \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AD}}=2\overrightarrow{{AM}}$
d) Có 4 vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện.
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $latex \overrightarrow{{AB}}=\overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{{AD}}=\overrightarrow{b},\,\,\overrightarrow{{A{A}’}}=\overrightarrow{c}$. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC’. Phân tích vectơ $latex \overrightarrow{{AI}}$ qua ba vectơ $latex \overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b},\,\,\overrightarrow{c}$
A. $latex \overrightarrow{{AI}}=2\overrightarrow{a}+\frac{1}{4}\overrightarrow{b}+\frac{1}{3}\overrightarrow{c}$
B. $latex \overrightarrow{{AI}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
C. $latex \overrightarrow{{AI}}=\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$
D. $latex \overrightarrow{{AI}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$
(T0213) Trong không gian Oxyz (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km), tại thời điểm 8 giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau.
Máy bay A: Đang ở vị trí M(0; 0; 9), bay thẳng theo hướng đến điểm N(1200; 0; 9) với tốc độ hành trình $latex {{v}_{1}}=800$ (km/h)
Máy bay B: Đang ở vị trí $latex P\left( {103;\ -299;\ 12} \right)$, bay thẳng đều theo hướng đến điểm $latex Q\left( {1003;\ 601;\ 12} \right)$ với tốc độ hành trình $latex {{v}_{2}}=600\sqrt{2}$ (km/h).
Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa hai máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, đơn vị: km).
Cho hình chóp S.ABCD. Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC và J là trọng tâm của tam giác ACD. Biết $latex \overrightarrow{{SI}}+\overrightarrow{{SJ}}=x\overrightarrow{{SA}}+y\overrightarrow{{SB}}+z\overrightarrow{{SC}}+t\overrightarrow{{SD}}$. Tính tổng $latex x+y+z+t$
Cho tứ diện ABCD, gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm của BC. Khi đó $latex \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{DC}}=k\overrightarrow{{EF}}$. Tìm giá trị của k
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a có G là trọng tâm của tam giác BCD và I là điểm thuộc đoạn thẳng AG sao cho $latex \overrightarrow{{AI}}=3\overrightarrow{{IG}}$
a) $latex \overrightarrow{{GA}}+\overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}=\overrightarrow{0}$
b) $latex \overrightarrow{{IB}}+\overrightarrow{{IC}}+\overrightarrow{{ID}}=3\overrightarrow{{IG}}$
c) $latex \overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}+\overrightarrow{{GD}}=\overrightarrow{{IA}}+\overrightarrow{{IB}}+\overrightarrow{{IC}}+\overrightarrow{{ID}}$
Cho hai vectơ $latex \overrightarrow{a},\,\,\overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau và $latex \left| {\overrightarrow{a}} \right|=6,\,\,\left| {\overrightarrow{b}} \right|=4$. Tính giá trị của $latex \left( {\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}} \right)\left( {2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}} \right)$
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $latex SA=4,\,\,AB=1,\,\,AD=2$ và $latex SA\bot \left( {ABCD} \right)$. Gọi M là trung điểm của AB. Tính số đo góc giữa hai vectơ $latex \overrightarrow{{SC}}$ và $latex \overrightarrow{{DM}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ)
. (T0193) Hình bên minh họa một sợi dây được căng giữa hai bức tường (vuông góc nhau và cùng vuông với mặt đất). Đầu A của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai 3 mét và cách mặt đất 1,2 mét. Đầu B của sợi dây cao hơn đầu A và nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất 1 mét.
Biết rằng góc giữa dây căng và mặt đất không vượt quá $latex {{30}^{0}}$, hỏi khoảng cách từ điểm B đến mặt đất tối đa là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).
Ở một số vùng quê Việt Nam, trước mỗi nhà thường có một khoảng sân rộng để phơi lúa vào mùa gặt và cũng là nơi để tổ chức một số sự kiện: đám cưới, đám hỏi, thôi nôi. Bác Nam tính xây một sân trước cửa nhà hình chữ nhật ABCD có độ dài các cạnh lần lượt là AB = 5 mét và AD = 12 mét. Để tiện cho việc thoát nước khi trời mưa và khi rửa sân nên bác Nam xây vị trí B thấp hơn vị trí A là 5cm, vị trí D thấp hơn vị trí A là 8cm.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, hãy xác định xem vị trí C thấp hơn vị trí A bao nhiêu cm?
(T0192) Tại khu du lịch nhà đầu tư muốn xây dựng một hệ thống cáp treo đi từ ngọn đồi A sang ngọn đồi E với tốc độ không đổi là 0,5 (mét/giây). Trên bản thiết kế hai ngọn đồi được đặt vào hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị trên trục là 10 mét và mặt đất chính là (Oxy). Biết rằng điểm $latex A\left( {0;0;3} \right)$ và $latex E\left( {16;16;10} \right)$. Hệ thống cáp treo có thêm 3 trụ là HB, KC, ID vuông góc với mặt đất và tọa độ $latex H\left( {4;4;0} \right)$, $latex K\left( {8;8;0} \right)$, $latex I\left( {12;12;0} \right)$; các điểm A, B, C, D thẳng hàng với nhau.
Một toa cáp treo đi từ điểm A đến điểm B mất 2 phút. Hỏi toa cáp treo cần bao nhiêu giây để đi từ điểm A đến điểm E (làm tròn đến hàng đơn vị).
Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian Oxyz. Biết các kích thước của mái lều là SA = 5 mét, AB = 10 mét, độ cao từ S xuống mặt đất là 4 mét. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều O, A, B, C đến đuôi một chiếc đến treo từ vị trí chính giữa của SQ, cách SQ một đoạn 30cm.
Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần chục).
(T0191) Sự thông minh giúp thích ứng và giải quyết vấn đề hiệu quả. Trong không gian Oxyz với đơn vị trên trục tương ứng là 1 mét, mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, tia Oz hướng từ dưới lên, một con chim thông minh đang ở điểm $latex B\left( {7;10;4} \right)$ và muốn tìm thức ăn mang đến cho con chim ở điểm $latex A\left( {1;2;3} \right)$ trên một cây cao.
Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt đất. Trong mặt phẳng (Q), con cho bay thẳng xuống mặt đất tại điểm N và chạy thẳng lấy thức ăn tại điểm M cách N một khoảng 4 mét sau đó bay thẳng đến vị trí chim non. Tính tổng quãng đường ngắn nhất của chim? (làm tròn đến hàng phần chục của mét).
(T0190) Một vật không gian có dạng được mô tả như hình vẽ bên dưới. Biết rằng hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $latex AC=6,\,\,BC=12$ và $latex CC’=4$. Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA = 5. Điểm M là trung điểm của BC và $latex SG\bot \left( {ABC} \right)$ tại điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Góc giữa hai vectơ $latex \overrightarrow{{A’M}}$ và $latex \overrightarrow{{SC’}}$ bằng bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
(T0189) Trong không gian Oxyz, đơn vị là km, một ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $latex A\left( {-80;-60;0} \right)$ đến điểm B trong 12 phút. Nếu đến B máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay trong 6 phút tiếp theo là $latex C\left( {640;480;0} \right)$. Biết một khẩu pháo ở vị trí điểm O được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 2 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng mày bay tại vị trí B. Sau bao nhiêu phút khi máy bay bắt đầu bay từ A thì người điều khiển pháo phải bắn?
(T0188) Một công ty viễn thông lắp đặt một cột ăng ten cao 45 mét trên đỉnh một ngoại đồi. Để giữ cột người ta dùng các sợi dây cáp neo với các chốt cố định trên mặt đất ở chân đồi. Xét một sợi dây cáp neo từ đỉnh A của cột ăng ten xuống một chốt cố định B ở chân đồi có độ dài 85 mét. Biết chiều cao của ngọn đồi là 5 mét. Thiết lập hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O tại vị trí chân cột ăng ten trên đỉnh đồi, trục Oz trùng với cột ăng ten, mặt phẳng (Oxy) vuông góc với cột ăng ten tại O như hình vẽ. Hình chiếu vuông góc của OB lên mặt phẳng (Oxy) tạo với trục Ox một góc $latex {{30}^{0}}$. Biết tọa độ chốt neo $latex B\left( {x;y;z} \right)$ có hoành độ và tung độ dương. Tính tổng $latex x+y+z$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).
(T0187) Hai chiếc flycam được điều khiển cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc flycam thứ nhất bay đến vị trí điểm A, chiếc flycam thứ hai bay đến điểm B. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc flycam, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất có trục Ox hướng về phía Nam, trục Oy hướng về phía Đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị trên mỗi trục là mét).
Biết điểm A cách mặt đất 4 mét, cách điểm xuất phát 5 mét về phía Nam và 6 mét về phí Đông. Vectơ $latex \overrightarrow{{OB}}$ có độ dài bằng 10 mét và hợp với các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ Ox, Oy, Oz các góc lần lượt là $latex {{135}^{0}}$, $latex {{120}^{0}}$ và $latex {{60}^{0}}$. Tính khoảng cách giữa hai chiếc flycam lúc đó (làm tròn đến hàng phần chục của mét).
(T0186) Trong không gian Oxyz với đơn vị độ dài trên mỗi trục được tính bằng mét, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $latex A\left( {-2;1;5} \right)$, chuyển động thẳng đều theo đường cáp và sau 5 giây kể từ lúc xuất phát, cabin đến vị trí điểm $latex M\left( {a;b;c} \right)$. Biết rằng vectơ vận tốc $latex \overrightarrow{v}$ cùng hướng với $latex \overrightarrow{u}=\left( {0;-2;6} \right)$ và có độ lớn 4 (m/s). Tính giá trị của $latex a+3b+c$
(T0185) Trong không gian Oxyz, một máy bay di chuyển từ điểm $latex A\left( {400;300;6} \right)$ theo hướng $latex \overrightarrow{u}=\left( {120;110;1} \right)$ với vận tốc không đổi là 900 (km/h). Biết sau 20 phút máy bay đến điểm có tọa độ $latex B\left( {a;b;c} \right)$. Tính tổng $latex S=a+b+c$ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi N là điểm trên đoạn thẳng C’D sao cho $latex DN=\frac{1}{3}DC’$. Biết $latex \overrightarrow{{BN}}=x\overrightarrow{{BA}}+y\overrightarrow{{BC}}+z\overrightarrow{{BB’}}$. Tính giá trị $latex 3x+2y+3z$
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $latex A\left( {1;-4;2} \right),\,\,B\left( {2;1;-3} \right),\,\,C\left( {-1;2;-2} \right)$. Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho $latex MA=MB$
Trong không gian, cho hai vectơ $latex \overrightarrow{a}$ và $latex \overrightarrow{b}$ có cùng độ dài bằng 6. Biết độ dài của vectơ $latex \overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}$ bằng $latex 6\sqrt{3}$. Tính số đo góc giữa hai vectơ $latex \overrightarrow{a}$ và $latex \overrightarrow{b}$
Trong không gian, cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, P là trung điểm của BB’. Biết $latex \overrightarrow{{AP}}=a.\overrightarrow{{AC}}+b.\overrightarrow{{CB}}+c.\overrightarrow{{AA’}}$. Tính giá trị của biểu thức $latex T=a-5b+2c$
Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng $latex ABFPE.DCGQH$ với ABFE là hình chữ nhật và EFP là tam giác cân tại P. Gọi T là trung điểm của CD. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $latex AB=6m;\,\,AE=5m;\,\,AD=8m$, $latex QT=7m$. Người ta mô hình hóa nhà kho bằng cách chọn hệ trục tọa độ có gốc tọa độ là điểm O thuộc đoạn AD sao cho $latex OA=2$ mét và các trục tọa độ tương ứng như hình vẽ bên.
a) Tọa độ của điểm Q là (- 6; 3; 5)
b) Vectơ $latex \overrightarrow{{OC}}$ có tọa độ $latex \left( {-6;6;0} \right)$
c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà tại vị trí trung điểm của FG và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí O. Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ điểm O đến K sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp tối thiểu bằng $latex 5+2\sqrt{{10}}$ (mét).
d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là 130 nghìn đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lớp mái nhà là 3750 nghìn đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn).
(T0184) Tại một điểm cao ở khu vực leo núi có một trung tâm điều hành trạm cứu hộ, trung tâm có đặt cột ăng ten đặt thiết bị thu phát vô tuyến và ra đa phục vụ giám sát, nhận tín hiệu cầu cứu và phát thông tin cần thiết đến trực thăng. Hệ trục tọa độ Oxy được thiết lập như hình vẽ (đơn vị mét)
a) Trực thăng cứu hộ đang cách trạm cứu hộ 20 mét về hướng Nam, 30 mét về hướng Tây và cao 100 mét so với trạm cứu hộ. Khi đó tọa độ của trực thăng cứu hộ là (20; – 30; 100)
b) Một nhóm cứu hộ phát tín hiệu cầu cứu tại vị trí (- 300; 200; – 30). Khi đó vectơ có điểm đầu là trực thăng, điểm cuối là vị trí cần cứu hộ có tọa độ là (320; – 230; 130).
c) Khoảng cách từ trực thăng đến nơi cứu hộ là 400 mét (làm tròn đến hàng đơn vị)
d) Trạm cứu hộ xác định vectơ vận tốc gió là (10; 5; 1) (mét/giây), yêu cầu trực thăng sau 3 phút đến vị trí cứu hộ. Trực thăng cần thiết lập vectơ vận tốc riêng có tọa độ $latex \left( {-\frac{{106}}{9};-\frac{{67}}{{18}};-\frac{{31}}{{18}}} \right)$ (mét/giây) để đảm bảo đến đúng nơi, đúng thời gian yêu cầu.
Trong hệ trục tọa độ Oxyz, một thiết bị thăm dò đáy biển đang lặn với vận tốc $latex \overrightarrow{v}=\left( {10;8;-3} \right)$ (km/giờ). Hỏi sau 30 phút thì thiết bị di chuyển được quãng đường là bao nhiêu?
A. $latex \frac{{\sqrt{{173}}}}{2}\,\,\left( {km} \right)$
Trong không gian Oxyz, đơn vị trên các trục là km, một máy bay đang ở độ cao 10km, tại vị trí $latex A\left( {500;200;10} \right)$. Theo hành trình dự định, máy bay sẽ bay qua vị trí $latex B\left( {700;200;10} \right)$. Tuy nhiên do thời tiết xấu, máy bay phải chuyển hướng bay đến vị trí $latex C\left( {600;300;8} \right)$. Hỏi trong quãng thời gian tránh vùng thời tiết xấu, máy bay đã bay chệch hướng dự định một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến hàng phần đơn vị của độ)
Trong không gian, cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 2. Tính độ dài của vectơ $ \overrightarrow{{BC}}-\overrightarrow{{BA}}+\overrightarrow{{{C}’A}}$
Ba lực có điểm đặt tại một đỉnh của hình lập phương, cùng phương với ba cạnh và cùng có cường độ là 5N. Tính cường độ của hợp lực (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)
Trong không gian Oxyz, cho $\vec{a},\vec{b}$ thỏa mãn $\left| {\vec{a}} \right|=1,\left| {\vec{b}} \right|=4,\left( {\vec{a},\vec{b}} \right)={{60}^{\circ }}$. Tính giá trị $ {{\left| {3\vec{a}-2\vec{b}} \right|}^{2}}$
Cho hình chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ nhật với $latex AB=5,\,\,AD=6,\,\,AA’=10$; G là trọng tâm của tam giác BDA’. Gắn với hệ trục như hình vẽ
a) Tọa độ của điểm $latex C\left( {5;6;0} \right)$
b) $latex \left| {\overrightarrow{{AC}}+2\overrightarrow{{A’B}}} \right|=\sqrt{{661}}$
c) Tọa độ điểm $latex G\left( {2;\frac{5}{3};\frac{{10}}{3}} \right)$
d) Tích vô hướng $latex \overrightarrow{{AG}}.\overrightarrow{{B’C}}=-\frac{{64}}{3}$
Một người đứng ở mặt đất điều khiển hai flycam để phục vụ trong một chương trình của đài truyền hình. Flycam I ở vị trí A cách vị trí điều khiển 150m về phía nam và 200 m về phía đông, đồng thời cách mặt đất 50m. Flycam II ở vị trí B cách vị trí điều khiển 180m về phía bắc và 240m về phía tây, đồng thời cách mặt đất 60m. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với gốc O là vị trí người điều khiển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất, trục Ox có hướng trùng với hướng nam, trục Oy có hướng trùng với hướng đông, trục Oz vuông góc với mặt đất hướng lên bầu trời, đơn vị trên mỗi trục tính theo mét. Khoảng cách giữa hai flycam đó bằng bao nhiêu(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét) vào một sân bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sân bay. Một máy bay bay theo đường thẳng từ vị trí $latex A\left( {5;0;5} \right)$ đến vị trí $latex B\left( {10;10;3} \right)$ và hạ cánh tại vị trí $latex M\left( {a;b;0} \right)$. Giá trị của $latex a+b$ bằng bao nhiêu (viết kết quả dưới dạng số thập phân)?
Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.
Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật CDFE và một hình thang ADFG với các điểm G(6; -6; 6); C(3; 4; 8); F(4; -4; 7) và điểm I là trung điểm của CE. Biết góc giữa hai vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{{DC}}$ và $latex \displaystyle \overrightarrow{{AB}}$ bằng $latex \displaystyle {{a}^{0}}$. Tìm giá trị của a (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)
Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm, vị trí của điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi ba vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có ba vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A(2; 0; 2), B(3; -1; 2) và C(-1;-1;-2); vị trí M(a; b; c) nằm trên mặt đất (mặt đất là mặt phẳng (Oxy)). Biết điểm M cách đều ba điểm A, B, C. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; -1), B(2; -1; 3), C(-4; 7; 5). Tọa độ chân đường phân giác trong góc B của tam giác ABC là (a; b; c). Tính tổng a + b + c
Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(-4; -1; 2), B(3; 5; -6), C(a; b; c). Biết trung điểm của cạnh AC thuộc trục tung; trung điểm của cạnh BC thuộc mặt phẳng (Oxz). Tính giá trị của biểu thức T = 2a + b – c
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài tất cả các cạnh đều bằng 6. Tính tích vô hướng $latex \displaystyle \overrightarrow{{SB}}.\overrightarrow{{BD}}$
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’D’ và C’D’. Biết tích vô hướng $latex \displaystyle \overrightarrow{{MN}}.\overrightarrow{{C’B}}=n{{a}^{2}}$ (n là số thập phân). Tính giá trị của n
Một tên lửa phóng từ mặt đất từ vị trí O theo hướng, vận tốc không đổi (mặt đất trùng với (Oxy)). Tên lửa đi từ điểm O(0; 0; 0) đến điểm A(140; 60; 6) trong 8 phút
a) Trong 8 phút tên lửa bay được quãng đường xấp xỉ 152km (làm tròn đến hàng đơn vị)
b) Ở phút thứ 4 độ cao tên lửa là 3km
c) Tọa độ của tên lửa sau 12 phút kể từ lúc phóng là (210; 90; 12)
d) Sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí A tên lửa đạt độ cao là 13,5km
Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB có $latex A\left( {2;2;-1} \right)$ và $latex B\left( {0;-4;3} \right)$. Tính độ dài đường phân giác trong của góc $latex \widehat{{AOB}}$ (làm tròn đáp án đến hàng phần trăm)
Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $latex A\left( {1;-1;1} \right),\,\,B\left( {3;2;-2} \right),\,\,C\left( {-3;1;5} \right)$. Tìm tọa độ điểm $latex M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $latex \overrightarrow{{MA}}-2\overrightarrow{{AB}}=4\overrightarrow{{CM}}$
Một camera wifi được biểu diễn trong không gian Oxyz như hình. Giả sử vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{{AB}}=(a;b;c)$. Tính giá trị của $latex \displaystyle T=a+b+c$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có $latex A\left( {0;0;0} \right)$, $latex B\left( {3;0;0} \right)$, $latex D\left( {0;3;0} \right)$ và $latex D’\left( {0;3;3} \right)$
a) $latex \overrightarrow{{AB}}=3\vec{i}+\vec{j}$
b) $latex A’\left( {0;0;3} \right)$
c) M là trung điểm của DD’. Khi đó tọa độ của điểm $latex M\left( {0;3;-3} \right)$
d) Tọa độ của điểm $latex C’\left( {3;3;3} \right)$
Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có điểm $latex A\left( {1;0;1} \right)$, $latex B\left( {2;1;2} \right)$, $latex D\left( {1;-1;1} \right)$, $latex {D}’\left( {3;4;-6} \right)$
a) Tọa độ $latex \overrightarrow{{AB}}=\left( {1;1;1} \right)$
b) Tọa độ $latex C\left( {2;1;2} \right)$
c) Tọa độ $latex {A}’\left( {3;5;-6} \right)$
d) Tọa độ trọng tâm của tam giác A’B’C là $latex G\left( {3;4;-3} \right)$
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $latex A\left( {1;0;1} \right)$. Tìm tọa độ điểm C thỏa mãn $latex \overrightarrow{{AC}}=\left( {0;6;1} \right)$
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của AD. Tính giá trị của tích vô hướng $latex \displaystyle \overrightarrow{{B’M}}.\overrightarrow{{BD’}}$
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A’D và C’D’. Gọi $latex \displaystyle \varphi $ là góc giữa hai vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{{MN}}$ và $latex \displaystyle \overrightarrow{{A’B}}$. Tìm số đo góc $latex \displaystyle \varphi $ (đơn vị độ)
Cho hai vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ thỏa $latex \displaystyle \left| {\overrightarrow{u}} \right|=3,\left| {\overrightarrow{v}} \right|=4$ và góc giữa hai vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ bằng $latex \displaystyle {{60}^{o}}$. Tính tích vô hướng $latex \displaystyle \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{{C}'{D}’}}$
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; BC= 2a. Cạnh bên SA = 3a và vuông góc với mặt đáy. Gọi O là tâm của đáy. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
a) $latex \overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SC}}=\overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SD}}$
b) $latex \left| {\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{AB}}} \right|=a\sqrt{5}$
c) $latex \displaystyle \overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{DC}}=\overrightarrow{{SC}}$
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ như hình vẽ. Đẳng thức nào sau đây sai?
A. $latex \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AD}}=\overrightarrow{{AC}}$
B. $latex \overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{C{C}’}}=\overrightarrow{{A{D}’}}$
C. $latex \overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{B{B}’}}=\overrightarrow{{A{C}’}}$ D. $latex \overrightarrow{{A{B}’}}+\overrightarrow{{CB}}=\overrightarrow{{A{C}’}}$
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $latex AB=a;AD=2a;A{A}’=a\sqrt{3}$. Tính độ dài vectơ $latex \overrightarrow{{{D}'{C}’}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{B{B}’}}$
A. $latex \left| {\overrightarrow{{{D}'{C}’}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{B{B}’}}} \right|=2a\sqrt{3}$ B. $latex \left| {\overrightarrow{{{D}'{C}’}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{B{B}’}}} \right|=3a\sqrt{2}$
C. $latex \left| {\overrightarrow{{{D}'{C}’}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{B{B}’}}} \right|=2a\sqrt{2}$
D. $latex \left| {\overrightarrow{{{D}'{C}’}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{B{B}’}}} \right|=4a$
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Tìm giá trị của k thích hợp để điền vào đẳng thức vectơ $latex \overrightarrow{{BD}}-\overrightarrow{{{D}’D}}-\overrightarrow{{{B}'{D}’}}=k\overrightarrow{{B{B}’}}$
Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ như hình bên dưới. Vectơ $latex \overrightarrow{u}=\overrightarrow{{AC’}}-\left( {\overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AA’}}} \right)$ cùng hướng với vectơ nào bên dưới?
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có $latex AB=2;AD=3;A{A}’=6$. Tính độ dài vectơ $latex \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{A{A}’}}$
Trong một góc phòng (của một phòng có dạng hình hộp chữ nhật) treo hai chiếc đèn. Chiếc thứ nhất cách mặt đất 2 mét và cách mỗi bức tường 1 mét. Chiếc thứ hai cách mặt đất 3 mét và cách mỗi bức tường cũng 3 mét. Tính khoảng cách của hai chiếc đèn.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm $latex A\left( {2;-2;3} \right)$. Biểu diễn $latex \overrightarrow{{OA}}$ theo các vectơ $latex \vec{i},\vec{j},\vec{k}$ ta được
A. $latex \overrightarrow{{OA}}=2\vec{i}-2\vec{j}+3\vec{k}$
B. $latex \overrightarrow{{OA}}=2\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$
C. $latex \overrightarrow{{OA}}=-2\vec{i}+2\vec{j}-3\vec{k}$
D. $latex \overrightarrow{{OA}}=-2\vec{i}+2\vec{j}+3\vec{k}$
Cho đồ thị hàm số $ \displaystyle f\left( x \right)=\frac{{3x+5}}{{-x+7}}$ có tâm đối xứng là I(a; b). Tính giá trị của biểu thức $ \displaystyle B=-4a-b$
