Cho hàm số $latex f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}+4x+7}}{{x+1}}$
a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $latex x=-1$
b) Giá trị cực tiểu của hàm số là – 2
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số trên các trục tọa độ tại hai điểm A, B. Khi đó diện tích tam giác OAB bằng 4,5 (đvdt)
d) Đồ thị hàm số $latex y=f\left( x \right)$ đi qua 6 điểm có tọa độ nguyên và tổng các hoành độ của 6 điểm này bằng 6
đúng – sai – đúng – sai
Cho hàm số $latex f\left( x \right)=\frac{{{{x}^{2}}+2x-2}}{{x-1}}$ có đồ thị (C)
a) Hàm số đạt cực đại tại x = 2
b) Góc giữa hai đường tiệm cận bằng $latex 45{}^\circ $
c) Số điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số là 4
d) Tích khoảng cách từ điểm M thuộc (C) túy ý đến 2 đường tiệm cận là một số không đổi.
sai – đúng – sai – đúng
Cho hàm số $latex \displaystyle f(x)={{\text{e}}^{{2x}}}-2x-1$
a) $latex \displaystyle f(0)=0;f\left( {\frac{1}{2}} \right)=\text{e}-2$
b) Đạo hàm $latex \displaystyle {f}’\left( x \right)={{\text{e}}^{x}}-2$
c) Hàm số $latex \displaystyle f(x)$ đồng biến trong khoảng (1; 2)
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $latex \displaystyle f(x)$ trên đoạn $latex \displaystyle \left[ {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right]$ là $latex \displaystyle \text{e}-2$
đúng – sai – đúng – đúng
Cho hàm số $latex f\left( x \right)={{3}^{{{{x}^{3}}-3x+1}}}$
a) $latex f\left( 1 \right)=3$
b) Đạo hàm $latex {f}’\left( x \right)=\left( {3{{x}^{2}}-3} \right){{3}^{{{{x}^{3}}-3x+1}}}$
c) $latex {f}’\left( x \right)=0$ có hai nghiệm trên đoạn [- 1; 2]
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $latex f\left( x \right)$ trên đoạn [- 1; 2] lớn hơn 1
sai – sai – đúng – sai
Huyết áp là áp lực cần thiết tác động lên thành của động mạch để đưa máu từ tim đến nuôi dưỡng cơ thể. Huyết áp được tạo ra do lực co bóp của cơ tim và sức cản của thành động mạch. Mỗi lần tim đập thì huyết áp của chúng ta tăng rồi giảm giữa các nhịp. Huyết áp tối đa và huyết áp tối thiểu gọi là huyết áp tâm thu và huyết áp tâm trương tương ứng. Chỉ số huyết áp 120/80 là bình thường. Giả sử huyết áp của một người nào đó được mô hình hoá bởi hàm số $latex P\left( t \right)=115+20\sin \left( {180\pi t} \right)$ ở đó P(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg (milimét thuỷ ngân) và thời gian t tính theo phút.
a) Chu kỳ của hàm P(t) là 90.
b) Số lần huyết áp tâm thu xảy ra trong khoảng thời gian một giờ đồng hồ là 5000.
c) Chỉ số huyết áp là 135/95.
d) Trong một phút, số lần mà tốc độ thay đổi huyết áp bằng $latex 1800\pi $ (mmHg/phút) là 180
sai – sai – đúng – đúng
Vận tốc v(t) (tính bằng centimet / giây) của một con lắc đơn theo thời gian t được cho bởi công thức $latex v\left( t \right)=2\sin \left( {2t+\frac{\pi }{6}} \right)$
a) Tại thời điểm t = 0, vận tốc của con lắc đơn là v(0) = 1.
b) Đạo hàm của v(t) là $latex v’\left( t \right)=-4\cos \left( {2t+\frac{\pi }{6}} \right)$
c) Phương trình $latex v’\left( t \right)=0$ có nghiệm duy nhất trên đoạn $latex \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]$ là $latex \frac{\pi }{6}$
d) Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, con lắc đơn có 4 lần đạt vận tốc lớn nhất.
đúng – sai – đúng – đúng
Tại một khu bảo tồn thiên nhiên các nhà khoa học đã thả một số cá thể của một loài động vật quý hiếm trong một khu rừng rộng 10 hecta và theo dõi sự tăng trưởng số lượng của chúng. Họ thấy rằng số lượng cá thể của loài động vật đó sau t năm kể từ khi nuôi tại khu bảo tồn được xấp xỉ bởi hàm số $latex h\left( t \right)=70{{\log }_{2}}\left( {\frac{{8t+1}}{{t+1}}} \right)+30$ (cá thể, t là số thực dương) và tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm sau đúng t năm kể từ khi nuôi được xấp xỉ bởi hàm số h’(t) (đơn vị: cá thể/năm).
a) Thời điểm ban đầu, người ta thả nuôi 30 cá thể.
b) Sau 9 tháng kể từ khi bắt đầu nuôi, số lượng cá thể của loài động vật đó là 170.
c) Tốc độ tăng trưởng số lượng cá thể của loài động vật đó tại thời điểm đúng 6 năm kể từ khi nuôi là $latex \frac{{10}}{7}$ (cá thể/năm).
d) Số lượng cá thể của loài động vật đó không vượt quá 240.
đúng – đúng – sai – đúng
Nghiên cứu cho thấy nồng độ R của một loại thuốc trong máu, tính bằng microgam/lít, giảm theo hàm $latex R\left( t \right)=366.{{e}^{{-0,0998t}}},\,\,t\ge 0$, trong đó t được tính bằng phút sau khi dùng thuốc.
a) Đồ thị là một đường hàm mũ giảm, đi qua điểm (0; 366) và tiến dần về trục hoành khi t tăng.
b) Tốc độ giảm của R tại thời điểm t = 20 có độ lớn 4,96 microgam/lít/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)
c) Sau 21 phút thì nồng độ thuốc trong cơ thể bệnh nhân còn 40 microgam/lít (làm tròn đến hàng đơn vị của phút)
d) Công ty sản xuất loại thuốc này ước tính lợi nhuận P (đơn vị: triệu đô la) thu được từ việc bán thuốc trong các năm có thể được mô hình hóa bởi $latex P=-0,03{{x}^{3}}+0,1{{x}^{2}}+x-0,1$; $latex 0\le x\le 5$ trong đó x là số chai thuốc được sản xuất, tính theo đơn vị 10 nghìn chai. Lợi nhuận đạt lớn nhất khi sản xuất khoảng 46248 chai.
đúng – đúng – sai – đúng
Cho hàm số $latex \displaystyle y=f\left( x \right)$ có đạo hàm trên R và $latex \displaystyle {f}'(x)$ là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình bên dưới
a) Hàm số $latex \displaystyle y=f\left( x \right)$ có hai điểm cực trị
b) Đồ thị hàm số $latex \displaystyle g\left( x \right)=\frac{{\sqrt{x}}}{{{f}'(x)+2}}$ có 3 đường tiệm cận đứng.
c) Hàm số $latex \displaystyle y=f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $latex \displaystyle \left( {2;+\infty } \right)$
d) $latex \displaystyle {f}'(2)=16$
sai – sai – đúng – đúng
(T0216) Có một hòn đảo nằm trong một vịnh biển, giả sử rằng đường bao sát biển của hòn đảo được mô hình hóa vào hệ trục tọa độ Oxy là một phần bên phải trục tung của đồ thị hàm số bậc ba $latex f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+2$ và giả sử một con đường trong đất liền chạy trên một đường thẳng có phương trình là $latex y=-9x+60$ như hình vẽ, với đơn vị trên mỗi trục tọa độ là 100 mét.
Tập đoàn đầu tư du lịch ST muốn làm một cây cầu vuợt biển có dạng một đoạn thẳng nối từ con đường trong đất liền ra hòn đảo để khai thác du lịch sinh thái. Tính độ dài ngắn nhất (đơn vị: mét) của cây cầu cần làm ? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
342
Cho hàm số $latex y=\frac{{2x-1}}{{x+1}}$ có đồ thị (C)
a) Hàm số đồng biến trên tập xác định.
b) Đồ thị hàm số (C) có tâm đối xứng là điểm $latex I\left( {-1;2} \right)$
c) Tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của đồ thị hàm số (C) với trục tung có phương trình $latex y=3x-1$
d) Số điểm thuộc đồ thị hàm số (C) có tọa độ nguyên là 2
sai – đúng – đúng – sai
Giả sử số lượng của một quần thể nấm men tại môi trường nuôi cấy trong phòng thí nghiệm được mô hình hóa bằng hàm số $latex P\left( t \right)=\frac{a}{{b+{{e}^{{-0,75t}}}}}$, trong đó thời gian t được tính bằng giờ. Tại thời điểm ban đầu t = 0, quần thể có 20 tế bào và tăng với tốc độ 12 tế bào/giờ. Theo mô hình này số lượng nấm men không vượt quá bao nhiêu con?
100 tế bào
Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó khi gắn với hệ trục tọa độ Oxy được mô phỏng bởi hình ảnh minh hoạt (đơn vị trên mỗi trục là km)
Biết đường bay của máy bay khi hạ cánh có dạng đồ thị hàm số bậc ba, điểm bắt đầu hạ cánh có tọa độ $latex \left( {-8;2} \right)$ là điểm cực đại và máy bay tiếp đất tại vị trí gốc tọa độ (điểm cực tiểu của hàm số bậc ba đó). Hỏi khi máy bay cách vị trí tiếp đất theo phương ngang 5km thì nó còn cách mặt đất bao nhiêu km? (làm tròn đến hàng phần trăm)
1,37 km
Ở một vịnh biển ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ Oxy với đơn vị đo tương ứng 1km có hòn đảo ở O thì đường bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số $latex y=\frac{{{{x}^{2}}+1}}{x}$. Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
2,2 km
Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật ABCD với AB = 100 mét; AD = 80 mét. Người ta muốn chia công viên thành hai khu, một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt, người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần $latex {{H}_{1}}$ (không tô màu) dành cho trẻ em và phần $latex {{H}_{2}}$ (tô màu) dành cho người lớn như hình vẽ bên dưới với AH = 40 mét; AE = 60 mét và EF // AB; PQ // AD. Biết rằng khi xét trong hệ tọa độ Oxy, đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số bậc ba. Phần chính giữa công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc đoạn thẳng MN như hình. Biết giá tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 140 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 180 nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn MN là bao nhiêu triệu đồng?
12,7 triệu đồng
Cho hàm số $latex f\left( x \right)=3x-{{\log }_{5}}\left( {x-1} \right)$
a) Đạo hàm của hàm số là $latex f’\left( x \right)=3-\frac{1}{{x-1}},\,\,\forall x\in \left( {1;+\infty } \right)$
b) Hàm số f(x) có một điểm cực tiểu
c) Hàm số đồng biến trên khoảng $latex \left( {2;+\infty } \right)$
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng $latex \left( {1;+\infty } \right)$ lớn hơn $latex \frac{9}{2}$
sai – đúng – sai – đúng
Diện tích bao phủ cỏ Posidonia (một loài tảo biển) trên đáy ở một vùng vịnh theo thời gian được một nhóm các nhà sinh vật học quan sát và mô hình hóa bởi hàm số $latex f\left( t \right)=\frac{k}{{1+14{{e}^{{-0,3t}}}}}$ (hecta), trong đó t là thời gian tính bằng năm và k là hằng số thực dương. Năm 2024 (ứng với t = 0) là thời điểm các nhà sinh vật học bắt đầu quan sát, lúc đó diện tích cỏ Posidonia đã bao phủ là 1 (hecta)
a) Giá trị k = 2
b) Theo thời gian, diện tích bao phủ của cỏ Posidonia ở vịnh này sẽ không vượt quá 15 (hecta)
c) Khi diện tích cỏ bao phủ 5 (hecta) thì tốc độ bao phủ ở thời điểm đó là 1 (hecta/năm) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
d) Nhóm các nhà sinh vật học dự đoán được tốc độ thay đổi diện tích bao phủ của cỏ Posidonia trong năm 2035 là nhanh nhất.
+ sai – đúng – đúng – sai
+ Gợi ý: Trong hàm logistic, tốc độ tăng trưởng cực đại xảy ra khi diện tích đạt một nửa giới hạn.
Trong một buổi tổng duyệt văn nghệ tại trường, một drone được sử dụng để ghi hình toàn cảnh. Trong 15 giây đầu kể từ khi cất cánh, do hệ thống tự động điều chỉnh lực đẩy để tiết kiệm pin, độ cào của drone (tính bằng mét) tại thời điểm t giây, được mô tả gần đúng với hàm số $latex h\left( t \right)=-0,05{{t}^{3}}+0,6{{t}^{2}}+3t\,\,\left( {0\le t\le 15} \right)$. Cùng thời điểm đó, một thang nâng sân khấu bắt đầu nâng thẳng đứng từ mặt sân với tốc độ không đổi là 1 (m/s)
a) Vận tốc của drone tại thời điểm t là $latex v\left( t \right)=-0,15{{t}^{2}}+1,2t+3$
b) Drone luôn bay lên trong 12 giây đầu
c) Độ cao lớn nhất mà drone đạt được trong 15 giây đầu không vượt quá 39 mét
d) Trong khoảng $latex 0<t\le 15$, drone và thang nâng ở cùng độ cao đúng 1 lần
đúng – sai – sai – đúng
Cho hàm số $latex f\left( x \right)=92-20\ln \left( {x+1} \right)$
a) Tập xác định của hàm số đã cho là $latex \left( {-1;+\infty } \right)$
b) Bất phương trình $latex f\left( x \right)\ge 36$ có đúng 16 nghiệm nguyên
c) Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $latex \left( {-1;+\infty } \right)$
d) Giá trị lớn nhất của hàm số $latex g\left( x \right)=f\left( x \right)+5x$ trên đoạn [1; 4] bằng $latex 107-40\ln 2$
đúng – đúng – sai – sai
Quỹ đạo bay của một viên đạn, trong điều kiện lý tưởng, được mô tả bởi hàm số $latex f\left( x \right)=k\left( {135x-6{{x}^{2}}-{{x}^{3}}} \right)$, trong đó x là khoảng cách nằm ngang (theo trục Ox) tính từ điểm bắn A, còn y là độ cao tương ứng của viên đạn so với mặt phẳng nằm ngang (đơn vị trên cả hai trục là km)
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, trong đó điểm bắn A và điểm rơi T của viên đạn nằm trên cùng một mặt phẳng ngang
a) Tầm bắn AT = 9km.
b) Tọa độ đỉnh quỹ đạo của viên đạn khi $latex k=\frac{1}{{200}}$ là G(5; 2)
c) Khi $latex k=\frac{1}{{200}}$ thì góc bắn $latex \alpha $ xấp xỉ $latex {{48}^{0}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ)
d) Với hệ số $latex k=\frac{3}{{800}}$ thì độ cao cực đại của viên đạn bằng 2,5km.
đúng – đúng – đúng – sai
Nghiên cứu cho thấy nồng độ R của một loại thuốc trong máu, tính bằng microgam/lít giảm theo $latex R=366{{e}^{{-0,0998t}}}$ trong đó t được tính bằng phút sau khi dùng thuốc.
a) Đồ thị là một đường hàm số mũ giảm, đi qua điểm (0; 366) và tiến dần về trục hoành khi t tăng
b) Tốc độ giảm của R tại thời điểm t = 20 phút có độ lớn 4,96 microgam/lít/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)
c) Sau 21 phút thì nồng độ thuốc trong cơ thể bệnh nhân còn 40 microgam/lít (làm tròn đến phút)
d) Công ty sản xuất loại thuốc này ước tính lợi nhuận P (triệu đô la) thu được từ việc bán thuốc trong các năm có thể được mô hình hóa bởi hàm số $latex P\left( x \right)=-0,03{{x}^{3}}+0,1{{x}^{2}}+x-0,1$ với $latex 0\le x\le 5$, trong đó x là số chai thuốc được sản xuất, tính theo đơn vị nghìn chai. Lợi nhuận đạt lớn nhất khi sản xuất khoảng 46248 chai.
đúng – đúng – sai – đúng
Cho hàm số $latex \displaystyle f\left( x \right)={{\text{e}}^{{{{x}^{2}}-1}}}-{{x}^{2}}$
a) Đao hàm $latex \displaystyle {f}’\left( x \right)=2x.{{\text{e}}^{{{{x}^{2}}-1}}}-2x$
b) $latex \displaystyle f\left( 0 \right)=\frac{1}{\text{e}}$ và $latex \displaystyle f\left( 1 \right)=0$
c) Tập nghiệm của phương trình $latex \displaystyle {f}’\left( x \right)=0$ là {0; 1}
d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên khoảng (- 1; 1) là 0
đúng – đúng – sai – sai
Cho hàm số $latex \displaystyle y=\frac{{{{x}^{2}}+3x+3}}{{x+2}}$
a) Hàm số đã cho đồng biến trên $latex \displaystyle \left( {-\infty ;-3} \right)$ và $latex \displaystyle \left( {-1;+\infty } \right)$
b) Tổng giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho bằng – 4.
c) Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; 2)
d) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho song song với đường thẳng $latex \displaystyle y=-3x-11$ đi qua điểm B(1; – 6)
đúng – sai – sai – đúng