Bài (12): Tổng hợp Đường thẳng, mặt phẳng và mặt cầu

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một con chim bồ câu xuất phát từ O(0; 0; 0) di chuyển với vectơ vận tốc $latex \overrightarrow{{{{v}_{1}}}}=\left( {1;\,2;\,2} \right)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $latex A\left( {0;\,0;\,5} \right)$ với vectơ vận tốc $latex \overrightarrow{{{{v}_{2}}}}=\left( {0;\,3;\,4} \right)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà ở đó thường xuyên xuất hiện những người săn bắt chim có dạng mặt cầu $latex {{\left( {x-2} \right)}^{2}}+{{\left( {y-4} \right)}^{2}}+{{\left( {z-4} \right)}^{2}}=16$. Biết rằng mỗi đơn vị trên các trục tọa độ trong không gian tương đương 1 mét và đơn vị đo thời gian tính bằng giây.

a) Tốc độ di chuyển của chim bồ câu là 3 (m/s)

b) Chim én có di chuyển vào vùng nguy hiểm trong quá trình bay

c) Thời gian mà chim bồ câu di chuyển trong vùng nguy hiểm nhỏ hơn 5 giây

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng quỹ đạo của hai con chim bằng $latex \frac{2}{3}$ mét

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một tàu ngầm đang di chuyển dưới biển sâu với hướng di chuyển theo đường thẳng $latex \text{ }\Delta\text{ }:\frac{{x-50}}{3}=\frac{{y+20}}{{-4}}=\frac{{z-10}}{1}$. Hải quân phát hiện một khu vực nguy hiểm được rải mìn, khu vực này có dạng hình cầu (S) với tâm $latex C\left( {200;-300;60} \right)$ và bán kính $latex R=80$ (mét)

a) Vectơ chỉ phương của đường di chuyển $latex \text{ }\Delta\text{ }$ vuông góc với $latex \overrightarrow{{OC}}$ (O là gốc tọa độ)

b) Đường di chuyển $latex \text{ }\Delta\text{ }$ nằm trong mặt phẳng $latex \left( P \right):4x+3y=140$

c) Tàu ngầm sẽ đi vào khu vực nguy hiểm (S)

d) Gọi M là điểm gần khu vực mìn nhất trên đường đi của tàu ngầm. Biết rằng tốc độ tàu ngầm không đổi là 5 (m/s). Thời gian ngắn nhất để tàu ngầm di chuyển từ vị trí hiện tại $latex A\left( {50;-20;10} \right)$ đến điểm M là 63,5 giây (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là nghìn kilomet, quỹ đạo chuyển động của hai tiểu hành tinh lần lượt được mô tả là các đường $latex \displaystyle {{d}_{1}}:\frac{{x+1}}{1}=\frac{{y+2}}{2}=\frac{z}{1};$, $latex \displaystyle {{d}_{2}}:\frac{{x-2}}{2}=\frac{{y-1}}{1}=\frac{{z-1}}{1}$. Ta xem vùng khí quyển của sao hỏa  là mặt cầu $latex \displaystyle \left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=3,{{5}^{2}}$

a) Tiểu hành tinh thứ nhất đi qua điểm $latex \displaystyle A\left( {-1;-2;-1} \right)$ và có vecto chỉ phương $latex \displaystyle \overrightarrow{u}=\left( {-1;-2;-1} \right)$

b) Sao hỏa có tâm là gốc tọa độ, bán kính từ tâm sao hỏa đến điểm ngoài cùng  của khí quyển là khoảng 350km.

c) Tiểu hành tinh thứ nhất có thể đi vào vùng khí quyển của sao hỏa.

d) Hai tiểu hành tinh không có nguy cơ va chạm nhau.

Hai chiếc máy bay không người lái cùng bay lên từ một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát về phía nam 20 km và về phía đông 10 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc thứ hai cách điểm xuất phát về phía tây 25 km và về phía bắc 30 km, đồng thời cách mặt đất 3 km. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai chiếc máy bay, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilômét.

a) Sau thời gian bay nêu trên, máy bay thứ nhất ở vị trí A(20;10;2).

b) Khoảng cách giữa hai máy bay xấp xỉ 61,04 km.

c) Vị trí của hai máy bay tạo với điểm xuất phát một góc gần bằng $latex 16,{{29}^{0}}$

d) Sau thời gian bay nêu trên, hai máy bay đó cùng bắn một mục tiêu di động trên mặt đất. Biết tổng khoảng cách từ mỗi máy bay đến mục tiêu là nhỏ nhất, lúc đó mục tiêu đó cách điểm xuất phát của hai máy bay là 50 km.

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát đặt tại điểm $latex M\left( {1;2;3} \right)$ và quan sát một thanh AB với $latex A\left( {7;8;-3} \right)$ và $latex B\left( {2;3;-3} \right)$. Một tấm bìa cứng có dạng hình tròn thuộc mặt phẳng (Oxy) có tâm O(0; 0; 0), bán kính R che khuất hoàn toàn thanh AB đối với người quan sát tại điểm M

a) $latex \overrightarrow{{MA}}=\left( {6;6;-6} \right)$

b) Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng chứa tấm bìa một góc $latex {{30}^{0}}$

d) Tấm bìa có bán kính nhỏ nhất bằng $latex \sqrt{{41}}$

Trong một vườn rau muống thông minh, các học sinh được đặt hệ thống vòi phun tự động. Mỗi vòi phun được gắn trên trụ cao 1,5 mét tại vị trí $latex A\left( {2;3;\frac{3}{2}} \right)$, phun nước theo hướng vectơ $latex \overrightarrow{v}=\left( {1;-2;-3} \right)$. Mặt đất là mặt phẳng (Oxy), tán cây được mô hình bằng mặt phẳng $latex z-1,8=0$

a) Tia nước được mô hình hóa bởi phương trình $latex \displaystyle x=2+t$; $latex \displaystyle y=3-2t$; $latex \displaystyle z=1,5-3t$

b) Tia nước chạm mặt đất tại điểm $latex B\left( {\frac{5}{2};2;0} \right)$

c) Tia nước không thể chạm mặt phẳng tán cây

d) Góc giữa tia nước và mặt đất khoảng 56,3 độ (làm tròn đến hàng phần mười theo đơn vị độ)

Trong không gian với hệ Oxyz, một con chim bồ câu xuất phát từ O(0; 0; 0) di chuyển với vectơ vận tốc $latex \displaystyle \overrightarrow{{{{v}_{1}}}}=\left( {1;2;2} \right)$. Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ $latex \displaystyle A\left( {0;0;5} \right)$ với vectơ vận tốc $latex \displaystyle \overrightarrow{{{{v}_{2}}}}=\left( {0;3;4} \right)$. Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà ở đó thường xuyên xuất hiện những người săn bắt chim có dạng mặt cầu $latex \displaystyle {{\left( {x-2} \right)}^{2}}+{{\left( {y-4} \right)}^{2}}+{{\left( {z-4} \right)}^{2}}=16$. Biết rằng mỗi đơn vị trên các trục tọa độ trong không gian tương đương 1 mét và đơn vị đo thời gian tính bằng giây

a) Tốc độ di chuyển của chim bồ câu là 3 (m/s)

b) Chim én có di chuyển vào vùng nguy hiểm trong quá trình bay

c) Thời gian mà chim bồ câu di chuyển trong vùng nguy hiểm nhỏ hơn 5 giây

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng quỹ đạo của hai con chim bằng 2,79 mét (làm tròn đến hàng phần trăm)