Bài (12): Bài 8. Biểu thức tọa độ các phép toán vectơ

(T0237) Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian Oxyz, tỉ lệ dài trên các trục là 10km tính cho một đơn vị tỉ lệ trên mỗi trục, cho bốn vệ tinh có tọa độ lần lượt là $latex A\left( {-1;2;-1} \right),B\left( {1;4;0} \right),C\left( {3;0;9} \right),D\left( {7;10;-1} \right)$ đang tiến hành theo dõi vật thể M (coi là một chất điểm). Các vệ tinh dùng sóng điện từ có tần số 1MHz . Ở một thời điểm cả 4 vệ tinh bắn tín hiệu về M thì sau nhận được tín hiệu trả về ngay sau đó trong những khoảng thời gian là ${t_A} = 0,4{\rm{\;ms}},{t_B} = 0,2{\rm{\;ms}},{t_c} = \frac{2}{3}{\rm{\;ms}},{t_D} = 0,4{\rm{\;ms}}$. Tính khoảng cách từ M đến O (Biết rằng vận tốc của sóng điện từ bằng vận tốc ánh sáng $c = {3.10^8}$ (m/s) và kết quả tính được làm tròn đến hàng phần trăm)

Đáp án

6,78

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $latex A\left( {3;1;0} \right)$, $latex B\left( {3;6;6} \right)$, $latex C\left( {4;6;2} \right)$ và $latex D\left( {6;2;14} \right)$; vị trí $latex M\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn $latex MA~=~3$, $latex MB~=~6$, $latex MC~=~5$, $latex MD~=~13$. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm O.

Đáp án

3

Trong không gian Oxyz, đơn vị trên mỗi trục là 50km, một con tàu vũ trụ bay thẳng từ vị trí A(- 3; 1; 2) đến B(2; 7; – 4) mất 45 phút. Sau đó tàu điều chỉnh hướng bay sao cho chiều chuyển động thẳng lúc này hợp với hướng $latex \overrightarrow{{AB}}$ một góc $latex {{15}^{0}}$, vẫn giữ nguyên vận tốc ban đầu và bay thêm 30 phút nữa thì đến vị trí C. Hỏi khoảng cách thực tế của hai vị trí A, C bằng bao nhiêu km? (làm tròn đến hàng đơn vị)

Đáp án

814

(T0213) Trong không gian Oxyz (mỗi đơn vị trên trục tương ứng với 1 km), tại thời điểm 8 giờ sáng, hai máy bay A và B có vị trí và lộ trình chuyển động như sau.

Máy bay A: Đang ở vị trí M(0; 0; 9), bay thẳng theo hướng đến điểm N(1200; 0; 9) với tốc độ hành trình $latex {{v}_{1}}=800$ (km/h)

Máy bay B: Đang ở vị trí $latex P\left( {103;\ -299;\ 12} \right)$, bay thẳng đều theo hướng đến điểm $latex Q\left( {1003;\ 601;\ 12} \right)$ với tốc độ hành trình $latex {{v}_{2}}=600\sqrt{2}$ (km/h).

Hãy xác định khoảng cách ngắn nhất giữa hai máy bay A và máy bay B trong quá trình bay (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm, đơn vị: km).

Đáp án

4,36

. (T0193) Hình bên minh họa một sợi dây được căng giữa hai bức tường (vuông góc nhau và cùng vuông với mặt đất). Đầu A của sợi dây nằm trên bức tường thứ nhất, cách bức tường thứ hai 3 mét và cách mặt đất 1,2 mét. Đầu B của sợi dây cao hơn đầu A và nằm trên bức tường thứ hai, cách bức tường thứ nhất 1 mét.

Biết rằng góc giữa dây căng và mặt đất không vượt quá $latex {{30}^{0}}$, hỏi khoảng cách từ điểm B đến mặt đất tối đa là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án

3 mét

(T0192) Tại khu du lịch nhà đầu tư muốn xây dựng một hệ thống cáp treo đi từ ngọn đồi A sang ngọn đồi E với tốc độ không đổi là 0,5 (mét/giây). Trên bản thiết kế hai ngọn đồi được đặt vào hệ trục tọa độ Oxyz, đơn vị trên trục là 10 mét và mặt đất chính là (Oxy). Biết rằng điểm $latex A\left( {0;0;3} \right)$ và $latex E\left( {16;16;10} \right)$. Hệ thống cáp treo có thêm 3 trụ là HB, KC, ID vuông góc với mặt đất và tọa độ $latex H\left( {4;4;0} \right)$, $latex K\left( {8;8;0} \right)$, $latex I\left( {12;12;0} \right)$; các điểm A, B, C, D thẳng hàng với nhau.

Một toa cáp treo đi từ điểm A đến điểm B mất 2 phút. Hỏi toa cáp treo cần bao nhiêu giây để đi từ điểm A đến điểm E (làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án

475 giây

Hình bên dưới minh họa một cái lều hai mái là hai hình chữ nhật giống nhau trong không gian Oxyz. Biết các kích thước của mái lều là SA = 5 mét, AB = 10 mét, độ cao từ S xuống mặt đất là 4 mét. Bạn An muốn trang trí chiếc lều bằng cách treo các sợi dây cờ trang trí từ các góc lều O, A, B, C đến đuôi một chiếc đến treo từ vị trí chính giữa của SQ, cách SQ một đoạn 30cm.

Hỏi tổng chiều dài sợi dây cờ trang trí tối thiểu bạn An cần mua là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng phần chục).

Đáp án

27,6 mét

(T0191) Sự thông minh giúp thích ứng và giải quyết vấn đề hiệu quả. Trong không gian Oxyz với đơn vị trên trục tương ứng là 1 mét, mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, tia Oz hướng từ dưới lên, một con chim thông minh đang ở điểm $latex B\left( {7;10;4} \right)$ và muốn tìm thức ăn mang đến cho con chim ở điểm $latex A\left( {1;2;3} \right)$ trên một cây cao.

Gọi (Q) là mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt đất. Trong mặt phẳng (Q), con cho bay thẳng xuống mặt đất tại điểm N và chạy thẳng lấy thức ăn tại điểm M cách N một khoảng 4 mét sau đó bay thẳng đến vị trí chim non. Tính tổng quãng đường ngắn nhất của chim? (làm tròn đến hàng phần chục của mét).

Đáp án

16,2 mét

(T0189) Trong không gian Oxyz, đơn vị là km, một ra đa phát hiện một máy bay chiến đấu di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $latex A\left( {-80;-60;0} \right)$ đến điểm B trong 12 phút. Nếu đến B máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay trong 6 phút tiếp theo là $latex C\left( {640;480;0} \right)$. Biết một khẩu pháo ở vị trí điểm O được bắn ra với vận tốc không đổi gấp 2 lần vận tốc máy bay nhằm bắn trúng mày bay tại vị trí B. Sau bao nhiêu phút khi máy bay bắt đầu bay từ A thì người điều khiển pháo phải bắn?

Đáp án

7 phút

Trong không gian Oxyz, đơn vị trên các trục là km, một máy bay đang ở độ cao 10km, tại vị trí $latex A\left( {500;200;10} \right)$. Theo hành trình dự định, máy bay sẽ bay qua vị trí $latex B\left( {700;200;10} \right)$. Tuy nhiên do thời tiết xấu, máy bay phải chuyển hướng bay đến vị trí $latex C\left( {600;300;8} \right)$. Hỏi trong quãng thời gian tránh vùng thời tiết xấu, máy bay đã bay chệch hướng dự định một góc bao nhiêu độ? (làm tròn đến hàng phần đơn vị của độ)

Đáp án

45 độ

Cơn bão Yagi gây thiệt hại nghiêm trọng về người và tài sản cho nước ta, trong đó nặng nề nhất là tại thôn Làng Nủ, xã Phúc Khánh, huyện Bảo Yên, tỉnh Lào Cai, lũ quét và sạt lở đất đã vùi lấp 40 ngôi nhà. Cả nước đã chung tay ủng hộ và xây dựng lại nhà sàn cho người dân Làng Nủ theo thiết kế như hình vẽ dưới đây.

Giả sử áp dụng hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ (đơn vị trên trục là mét). Xét một bên của mái nhà gồm có một hình chữ nhật CDFE và một hình thang ADFG với các điểm G(6; -6; 6); C(3; 4; 8); F(4; -4; 7) và điểm I là trung điểm của CE. Biết góc giữa hai vectơ $latex \displaystyle \overrightarrow{{DC}}$ và $latex \displaystyle \overrightarrow{{AB}}$ bằng $latex \displaystyle {{a}^{0}}$. Tìm giá trị của a (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ)

Đáp án

8 độ