Bài (12): Bài 12. Tích phân

(T0239) Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 200 mét thì tốc độ của ô tô là 36 (km/h). Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $latex v\left( t \right)=at+b$ trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Sau 24 giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong thời gian còn lại trên cao tốc.

a) Quãng đường ô tô đi được từ khi bắt đầu tăng tốc đến khi nhập làn là 180 mét.

b) Vận tốc của ô tô tại thời điểm nhập làn là 72 (km/h).

c) Quãng đường mà ô tô đi được trong thời gian 30 giây kể từ khi ô tô cách điểm nhập làn 200 mét là 620 mét.

d) Sau 24 giây kể từ khi tăng tốc, ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong vòng 5 giây thì phát hiện chướng ngoại vật cách đó 300 mét. Người điều khiển lập tức đạp phanh và ô tô chuyển động chậm dần đều với gia tốc $latex a\left( t \right)=-3$ (m/s²). Khi đó ô tô dừng lại cách chướng ngoại vật 10 mét.

Một đoàn tàu đang đứng yên trong sân ga, ngay trước đầu tàu có một cái cây. Đoàn tàu khởi hành từ trạng thái đứng yên với gia tốc $latex a=0,005t\text{ }(\text{m/}{{\text{s}}^{\text{2}}})$ và đi qua cái cây trong thời gian 60 giây. Sau 80 giây đoàn tàu chuyển sang trạng thái chuyển động đều. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) Vận tốc của đoàn tàu là $latex \displaystyle v={{5.10}^{{-3}}}{{t}^{2}}\text{ }(\text{m/s}).$

b) Chiều dài của đoàn tàu là 180 mét.

c) Sau 80 giây, đoàn tàu chuyển động với tốc tốc 57,6 (km/h)

d) Sau khi chuyển động đều một thời gian, đoàn tàu gặp một cây cầu có chiều dài 480 mét. Khi đó đoàn tàu đi qua cây cầu đó trong thời gian 30 giây.

Một bồn chứa nước đang chứa 200 lít nước. Người ta bắt đầu bơm nước vào bồn qua một đường ống. Tại thời điểm t (phút), tốc độ dòng chảy của nước vào bồn được xác định bởi hàm số $latex v\left( t \right)=6{{t}^{2}}+8t$ (lít/phút). Gọi V(t) là thể tích nước có trong bồn tại thời điểm t.

a) Tốc độ dòng chảy của nước vào bồn tại thời điểm t = 5 (phút) là 190 (lít/phút).

b) Hàm số thể tích V(t) là một nguyên hàm của hàm tốc độ dòng chảy v(t) và có dạng tổng quát là $latex V\left( t \right)=6{{t}^{3}}+4{{t}^{2}}+C$ (C là hằng số).

c) Tốc độ dòng chảy tăng theo thời gian.

d) Sau 10 phút bơm, nếu bồn có dung tích 2500 lít thì nước sẽ tràn ra ngoài.

Giả sử khi được t năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $latex R’\left( t \right)=588-3{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm), thời điểm t = 0 tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $latex C’\left( t \right)=48+12{{t}^{2}}$ (triệu đồng/năm), ở đây C(t) là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được t năm tuổi.

a) Doanh thu sau 10 năm của máy A là $latex \int\limits_{0}^{{10}}{{\left( {588-3{{t}^{2}}} \right)dt}}$

b) Tổng chi phí vận hành và bảo trì của máy A trong 6 năm là 1152 (triệu đồng)

c) Tuổi thọ hữu ích của một máy là số năm T trước khi lợi nhuận mà nó tạo ra bắt đầu giảm. Tuổi thọ hữu ích của máy A này là 8 năm

d) Lợi nhuận do máy A tạo ra trong suốt thời gian tuổi thọ hữu ích của nó là 2180 (triệu đồng)

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $latex \displaystyle v\left( t \right)=3+at$ (m/s) với a > 0 và t là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu chạy đà. Biết rằng sau 30 giây thì máy bay đạt được vận tốc 280,8 (km/h) và cất cánh

a) Khi bắt đầu chạy đà, vận tốc của máy bay là 10,8 (km/h)

b) Giá trị của a là 3

c) Trước khi cất cánh, máy bay đã chạy một quãng đường 1200 mét trên đường băng

d) Biết rằng máy bay có thể cất cánh nếu đạt vận tốc tối thiểu là 270 (km/h). Sau khi chạy đà được 1150 mét trên đường băng thì máy bay đã đủ điều kiện cất cánh.

Một xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với tốc độ 90 (km/h) thì tài xế nhìn thấy biển báo trạm thu phí ở phía trước cách đó 400 mét. Sau 4 giây, tài xế đạp nhẹ phanh, kể từ đó xe chạy chậm dần đều với gia tốc $latex \displaystyle -2\,\,\left( {m/{{s}^{2}}} \right)$ cho đến khi tốc độ xe giảm về tốc độ quy định khi qua các làn thu phí tự động là 30 (km/h). Gọi t (giây) là thời gian kể từ lúc đạp phanh cho đến khi giảm về tốc độ 30 (km/h)

a) Vận tốc ô tô kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30 (km/h) là $latex \displaystyle v\left( t \right)=25-2t\,\,\left( {m/s} \right)$

b) Thời gian kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30 (km/h) là 9 giây (làm tròn đến hàng đơn vị)

c) Quãng đường xe đi được kể từ lúc đạp phanh đến khi giảm về tốc độ 30 (km/h) là 139 mét (làm tròn đến hàng đơn vị)

d) Khi giảm về tốc độ 30 (km/h), khoảng cách giữa xe và trạm thu phí là 161 mét (làm tròn đến hàng đơn vị)

Vào một buổi sáng, bạn Quyết đi xe đạp từ nhà tới trường với vận tốc $latex \displaystyle v\left( t \right)=2{{t}^{2}}+t$ (mét/phút) với t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc bắt đầu đi

a) Vận tốc của Quyết tại thời điểm t = 10 phút là 210 mét/phút

b) Quãng đường Quyết đi được trong 5 phút đầu tiên là 97 mét

c) Biết quãng đường từ nhà tới trường của Quyết là 4050 mét. Thời gian cần để di chuyển tới trường của Quyết là 18 phút

d) Sau khi di chuyển được 12 phút (kể từ lúc bắt đầu đi từ nhà), Quyết nhìn thấy phía trước có công trường nên đã thay đổi tốc độ và di chuyển chậm dần đều với gia tốc không đổi. Đi được thêm 15 giây thì Quyết tới công trường. Biết công trường cách nhà Quyết 1274 mét. Vận tốc tức thời của Quyết khi tới công trường là 100 mét/phút.

Một ô tô bắt đầu xuất phát và chuyển động nhanh dần đều với vận tốc v(t) = 10t (m/s) với t là thời gian tính bằng giây. Sau khi ô tô đó đi được 10 giây thì gặp chướng ngại vật nên phải đạp phanh gấp và tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $latex a=-40\left( {~m/{{s}^{2}}} \right)$

a) Vận tốc ô tô tại thời điểm bắt đầu đạp phanh là 100 (m/s)

b) Quãng đường ô tô đi được trong khoảng thời gian10 giây đầu tiên là 600 mét.

c) Từ lúc đạp phanh ô tô tiếp tục chuyển động với vận tốc $latex {{v}_{1}}\left( t \right)=-40t\left( {m/s} \right)$

d) Quãng đường ô tô đi được từ lúc xuất phát đến lúc dừng hẳn là 625 mét.