Dạng toán: Toán thực tế (Trả lời ngắn)

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm $latex A\left( {3;1;0} \right)$, $latex B\left( {3;6;6} \right)$, $latex C\left( {4;6;2} \right)$ và $latex D\left( {6;2;14} \right)$; vị trí $latex M\left( {a;b;c} \right)$ thỏa mãn $latex MA~=~3$, $latex MB~=~6$, $latex MC~=~5$, $latex MD~=~13$. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm O.

Đáp án

3

(T0155) Một chiếc thuyền đang chuyển động đều với vận tốc 10 (m/s) theo hướng từ Nam lên Bắc trên mặt hồ. Trên cây cầu nằm cách mặt hồ 20 mét theo phương thẳng đứng, có một chiếc ô tô chuyển động đều với vận tốc 20 (m/s) theo hướng từ Tây sang Đông

Như hình vẽ, tại thời điểm hiện tại, thuyền ở vị trí cách điểm P (nằm dưới cầu) 40 mét theo phương Nam, còn ô tô ở vị trí cách điểm Q (trên cầu) 30 mét theo phương Tây (bỏ qua kích thước của thuyền và ô tô; đoạn thẳng PQ luôn vuông góc với hướng chuyển động của cả thuyền và ô tô). Hỏi khoảng cách giữa thuyền và ô tô đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu mét?

Đáp án

30

Đường ống dẫn dầu trên không là hệ thống đường ống được treo trên các giá đỡ hoặc cột cao, dùng để vận chuyển dầu thô hoặc các sản phẩm từ dầu mỏ từ nơi này đến nơi khác mà không cần chôn dưới lòng đất. Hệ thống này thường được sử dụng trong các khu vực có địa hình khó khăn, vùng băng giá, rừng rậm, … khi mà việc đào đường ống ngầm không khả thi. Với hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp, đơn vị trên mỗi trục là mét, người ta thiết lập một đường ống dẫn dầu trên không dọc theo đường thẳng $d:\left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 0\\ z = 16 \end{array} \right.$ (t là tham số).

Vì địa hình không như ý, người ta đành chọn điểm $A\left( {12;10;15} \right)$ cạnh vách núi để làm điểm trung chuyển tự mặt đất (mặt phẳng (Oxy)) đến đường ống này. Dựa vào kinh nghiệm của mình, họ phải chọn vị trí B thuộc đường ống và vị trí C thuộc mặt đất sao cho tổng độ dài các đoạn đường AB, BC, AC là bé nhất. Tìm giá trị bé nhất đó theo đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần chục.

Đáp án

42,6

Một nhóm chuyên gia đang nghiên cứu dựng một tấm kính cường lực hình tam giác để đặt vào một góc tường. Biết ba mặt của góc tường đôi một vuông góc và giao tuyến của chính lần lượt là các tia Ox, Oy, Oz sao cho (Oxy) trùng với sàn nhà, mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với 1 mét trong thực tế. Mặt kính luôn đi qua điểm I, điểm này cách các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Oxz) lần lượt là 1 mét, 3 mét và 2 mét.

Khi khoảng cách từ chiếc đèn có tọa độ $latex D\left( {4;5;6} \right)$ tới mặt phẳng kính lớn nhất, tính diện tích tấm kính cường lực theo mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng phần chục)?

Đáp án

77,3

(T0168) (Vận dụng cao) Trong hệ tọa độ Oxyz, đơn vị trên mỗi trục tính bằng km, sân bay nằm trên mặt phẳng (Oxy). Tại thời điểm ban dầu, máy bay X bay thẳng từ điểm $latex \displaystyle A\left( {-8;3;2} \right)$ với tốc độ 360 (km/h), máy bay Y bay từ điểm C theo hướng $latex \displaystyle \overrightarrow{{{{v}_{1}}}}=\left( {-2;2;-1} \right)$. Sau t giờ, máy bay X bay đến điểm $latex \displaystyle B\left( {-4;-1;4} \right)$ còn máy bay Y bay đến điểm $latex \displaystyle D\left( {10;-10;5} \right)$. Khi đến D, máy bay Y được tháp kiểm soát yêu cầu bay tiếp theo hướng $latex \displaystyle \overrightarrow{{{{v}_{2}}}}=\left( {-5;4;-1} \right)$ và phải hạ cánh sau đúng 10 phút. Tính tốc độ trung bình của máy bay Y từ thời điểm ban đầu cho đến khi tiếp đất theo đơn vị km/h (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Đáp án

259 (km/h)