Cho hàm số v$latex y=\left( {x+1} \right){{e}^{x}}$. Biết đạo hàm của hàm số có dạng $latex y’=\left( {mx+n} \right){{e}^{x}}$. Tính giá trị $latex m+n$
Biết rằng tổng tất cả các nghiệm trong khoảng $ \left( {0;2\pi } \right)$ của phương trình $ \left( {2\cos 2x+5} \right)\left( {{{{\sin }}^{2}}x-{{{\cos }}^{2}}x} \right)=0$ là $ S=\alpha \pi $. Tìm giá trị của $ P=25\alpha +23$
Số đo ba góc của một tam giác tạo thành cấp số cộng. Biết rằng số đo góc lớn nhất gấp đôi số đo góc nhỏ nhất. Hiệu của số đo góc lớn nhất với số đo góc nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
Từ hình vuông H1 có độ dài cạnh bằng 30. Người ta vẽ các hình vuông H2 có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông H1; hình vuông H3 có cạnh bằng một nửa hình vuông H2; … và tiếp tục quá trình này đến vô hạn lần (như hình vẽ).
Tính tổng diện tích tất cả các hình vuông H1, H2, H3, …?
Tìm tham số a để hàm số liên tục trên tập số thực R với $latex \displaystyle f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}2x-a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,khi\,\,\,x\le 1\\\frac{{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}}{{x-1}},\,\,khi\,\,\,x>1\end{array} \right.\,$
Đáp án
Cho dãy số $ \left( {{{u}_{n}}} \right)$ xác định bởi $ {{u}_{1}}=2$ và $latex {{u}_{{n+1}}}=\frac{{2(n+1)}}{n}.{{u}_{n}}$. Tính tổng $ S={{u}_{1}}+\frac{{{{u}_{2}}}}{2}+\frac{{{{u}_{3}}}}{3}+…+\frac{{{{u}_{{10}}}}}{{10}}$
Đáp án
Cho $ \alpha -\beta =\frac{\pi }{3}$. Giá trị của biểu thức $M={{(\cos \alpha +\sin \beta )}^{2}}+{{(\cos \beta -\sin \alpha )}^{2}}$ có dạng $ a-\sqrt{b}$. Tính tổng $ T={{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}$
Cho hàm số $ f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{2}}-3x+5\text{ }\,\,khi\text{ }\,\,x\ne -1\text{ }\\2x+m\text{ }\,\,khi\text{ }\,x=-1\end{array} \right.$. Tìm giá trị của tham số m để hàm số liên tục tại x = – 1
Cho tứ diện ABCD. Hai điểm I và J lần lượt thuộc AC, BC sao cho $ \displaystyle IA=\frac{1}{2}IC,\,JC=2JB$. Gọi K là một điểm trên cạnh BD sao cho $ \displaystyle KB=3KD$. Mặt phẳng (IJK) cắt AD tại H. Tính tỉ số $ \displaystyle \frac{{AH}}{{AD}}$
Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, BC và P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho $ AP=\frac{1}{4}AB$. Gọi Q là giao điểm của SC và (MNP). Tính tỉ số $ \frac{{SC}}{{SQ}}$
Cho $ a={{\log }_{2}}5$ và $latex b={{\log }_{3}}5$. Biết $\displaystyle {{\log }_{{24}}}250=\frac{{3ab+nb}}{{a+qb}}$ với n, q là các số nguyên. Tính giá trị biểu thức $ \displaystyle A=3nq$
Cho $ \alpha \in \left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$ thỏa $ \sin \alpha =\frac{2}{5}.$. Tính giá trị của biểu thức $A=\sin \left( {\alpha +\frac{\pi }{3}} \right)$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
(B0041) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD biết rằng hai điểm A, B nằm trên trục Ox và $ {{x}_{A}}<{{x}_{B}}$, còn hai điểm C, D nằm trên đồ thị hàm số $ y=\cos x+1$ trên đoạn $latex \left[ {0;2\pi } \right]$. Biết rằng $ AB=\frac{{4\pi }}{3}$. Tính độ dài đoạn thẳng AD
Đáp án
Cho hàm số $ \displaystyle g\left( t \right)=45{{t}^{2}}-{{t}^{3}}~$. Tính $ \underset{{t\to 10}}{\mathop{{\lim }}}\,\frac{{g\left( t \right)-g\left( {10} \right)}}{{t-10}}$
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, O là tâm của đáy. Trên cạnh SB, SD lần lượt lấy điểm M, N sao cho $latex SM=3MB$ và $ SN=\frac{1}{4}SD$. Hình chiếu của M, N qua phép chiếu song song đường thẳng SO lên mặt phẳng chiếu (ABCD) lần lượt tại P, Q. Tính tỉ số $ \frac{{OP}}{{OQ}}$
Cho tứ diện ABCD, M là trọng tâm của tam giác ABC. Gọi N là hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD). Khi đó $ \frac{{EN}}{{ED}}$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng SA. Gọi M là giao điểm của đường thẳng CI và mặt phẳng (SBD). Tính tỉ số $ \frac{{IM}}{{IC}}.$ (làm tròn đến hàng phần chục)
Tổng các nghiệm thuộc đoạn $ \left[ {0;\pi } \right]$ của phương trình $ \displaystyle \text{cos}\,3x+\text{cos}\,x=0$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
Cho dãy số $ ({{u}_{n}})$ thỏa mãn $latex {{\log }^{2}}{{u}_{1}}+\log {{u}_{1}}-6=0$ và $ {{u}_{{n+1}}}={{u}_{n}}+5$ với mọi $ n\ge 1,\,n\in N$. Tìm giá trị lớn nhất của n để $ {{u}_{n}}<500$
Đáp án
Cho hai cấp số cộng có dãy số hạng lần lượt là $latex 5;8;11;\ldots $ và $latex 3;7;11,\ldots $. Hỏi trong 100 số hạng đầu tiên của mỗi cấp số, có bao nhiêu số hạng chung?
Cho các góc $ \alpha ,\beta $ thỏa mãn $\frac{\pi }{2}<\alpha ,\beta <\pi ,\sin \alpha =\frac{1}{3},\cos \beta =-\frac{2}{3}$. Tính giá trị $ \sin (\alpha +\beta )$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
Cho biết $ \tan \alpha =\sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $ C=\frac{{\sin \alpha -\cos \alpha }}{{{{{\sin }}^{3}}\alpha +3{{{\cos }}^{3}}\alpha +2\sin \alpha }}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)
Cho cấp số nhân $ \left( {{{u}_{n}}} \right)$ biết $ {{u}_{1}}=5,{{u}_{5}}=405$ và tổng $ {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+\ldots .+{{u}_{n}}=1820$. Tìm giá trị của n
Đáp án
Một công ty bất động sản Đất Vàng thực hiện cuộc khảo sát khách hàng xem họ có nhu cầu mua nhà ở mức giá (triệu đồng/mét vuông) nào để tiến hành dự án xây nhà ở Thăng Long group sắp tới. Kết quả khảo sát 500 khách hàng được ghi lại ở bảng sau:
Công ty bất động sản Đất Vàng nên xây nhà ở mức giá nào để nhiều người có nhu cầu xây nhà? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)
Cho dãy số $ \left( {{{u}_{n}}} \right)$ xác định bởi $ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{u}_{1}}=-1,{{u}_{2}}=3} \\ {{{u}_{{n+1}}}={{u}_{n}}+2{{u}_{{n-1}}}} \end{array}} \right.$ với $ n\ge 2$. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.
Đáp án
Cho $ \displaystyle \left( {{{u}_{n}}} \right)$ là cấp số nhân, đặt $ {{S}_{n}}={{u}_{1}}+{{u}_{2}}+…+{{u}_{n}}$. Biết $ \displaystyle {{S}_{2}}=4;\,{{S}_{3}}=13$ và $ \displaystyle {{u}_{2}}<0$. Tính giá trị của $ \displaystyle {{S}_{5}}$
Đáp án
Khảo sát thời gian chạy bộ trong một ngày của học sinh lớp 11A thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giáo viên thể dục dự định cho 25% học sinh có ít thời gian chạy bộ trong ngày tham gia rèn luyện thể lực. Hãy cho biết những học sinh có thời gian chạy bộ trong ngày dưới bao nhiêu phút thì phải tham gia rèn luyện thể lực (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r mỗi kỳ thì sau n kỳ, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép $ A=P{{\left( {1+r} \right)}^{n}}$. Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kỳ hạn 12 tháng với lãi suất 4,75%/năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (triệu đồng) (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu đươc sau 5 năm? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, AA’ và K là giao điểm của B’C với (MNP). Tính tỉ số $ \frac{{KC}}{{KB’}}$ (làm tròn đến hàng phần trăm)
Một rạp hát có 20 dãy ghế, dãy ghế đầu tiên có 25 ghế ngồi được 25 người, mỗi dãy ghế sau nhiều hơn dãy ghế trước 2 chỗ ngồi. Hỏi rạp có thể bán ra tối đa bao nhiêu vé cho khán giả vào xem. (mỗi vé chỉ ngồi được một người).
Cent âm nhạc là một đơn vị trong thang logarit của cao độ hoặc khoảng tương đối. Một quãng tám bằng 1200 cent. Công thức xác định chênh lệch khoảng thời gian (tính bằng cent) giữa hai nốt nhạc có tần số lần lượt là a và b là $ n=1200\cdot {{\log }_{2}}\frac{a}{b}.$. Giả sử khoảng thời gian chênh lệch giữa hai nốt nhạc là 55 cent và tần số cuối cùng là 218 Hz, hãy xác định tần số đầu là bao nhiêu Hz? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có $ AB=4cm,\,\,AD=3cm,\,\,SC=6$, SA vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp S.ABCD (làm tròn kết quả đế hàng phần chục và đơn vị tính là centimet khối)
Một chiếc xe đạp có 2 bánh bằng nhau chuyển động thẳng đều, đường kính mép ngoài bánh xe bằng 60cm. Biết trong 12 giây thì bánh xe quay đúng 5 vòng. Hỏi trong 1 giây thì xe đi được bao nhiêu cm? (làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách giữa đường thẳng B’C’ đến mặt phẳng (A’BC) bằng $latex \displaystyle \frac{{\sqrt{3}}}{3}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai sau dấu phẩy)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có $latex AB~=~5$, $latex BC~=~6$, $latex CA~=~7$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA’ và BC bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)
Cho hình tứ diện ABCD. Gọi M là trọng tâm của tam giác BCD. Đường thẳng đi qua M, song song với AB và cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm N. Tính tỉ số $latex \displaystyle \frac{{MN}}{{AB}}$
Huyết áp là áp lực của máu tác động lên thành động mạch khi tim bơm máu vào động mạch. Giả sử trong một giai đoạn vận động thể thao, huyết áp của một người thay đổi theo thời gian được cho bởi hàm số $latex p\left( t \right)=100+20\cos \left( {120\pi t} \right)$ trong đó p(t) là huyết áp tính theo đơn vị mmHg phụ thuộc vào thời gian t tính theo phút. Trong 10 phút tính từ thời điểm ban đầu khi $latex t=0$ có bao nhiêu lần huyết áp của người này mức 90 mmHg?
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, $latex AB=4$, $latex AD=8$, SA vuông góc với đáy và $latex SA=4\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1 đơn vị, $latex \widehat{{BAD}}={{60}^{{}^\circ }}$. Tam giác SAB vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ đường thẳng AB đến đường thẳng SC bằng $latex \frac{{\sqrt{a}}}{b}$ ($latex a,b\in {{\mathbb{Z}}^{+}}$); $latex \frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính tổng a + b
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $latex AB=1$, $latex AD=2$, $latex SA=3$. Tính số đo góc nhị diện $latex [B,SC,D]$ theo đơn vị độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết $latex \displaystyle AB=\sqrt{3},\,\,BC=1$ và $latex \displaystyle \left[ {S,\,BC,\,A} \right]={{60}^{0}}$. Tính tan của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC).
Cho khối chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh 2, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy; góc nhị diện $latex \left[ {S,\,BC,\,A} \right]$ tạo với đáy một góc $latex {{30}^{0}}$. Thể tích của khối chóp đã cho bằng bao nhiêu? (làm tròn đến hàng phần trăm)
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, $latex BC=3,$, $latex SA\bot \left( {ABC} \right)$ và $latex SB=6.$ Gọi E là trung điểm của cạnh SB. Biết góc giữa hai đường thẳng SA và CE bằng $latex {{60}^{{}^\circ }}.$ Tính thể tích của khối chóp đã cho.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), $latex AB=1$, $latex AD=2$, $latex SA=3$. Tính số đo góc nhị diện $latex [B,SC,D]$ theo đơn vị độ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết $latex SA=2a$, $latex AB=a$ và $latex BC=3a$. Tính thể tích khối chóp S.ABC
Hình ảnh bên dưới là ảnh thực tế của một loại máy xay đa năng. Khoang chứa nguyên liệu của máy có dạng một hình chóp cụt tứ giác đều. Biết rằng cạnh đáy trên dài 48cm, cạnh đáy dưới dài 8cm, cạnh bên dài $latex 25\sqrt{2}\,\,\left( {cm} \right)$. Tính thể tích khoang chứa nguyên liệu của máy (làm tròn đến hàng phần chục của decimét khối)
Đầu năm 2025, ông A thành lập một doanh nghiệp. Tổng số tiền ông A dùng để trả chi phí vận hành trong năm 2025 là 2 tỉ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả chi phí vận hành trong năm đó tăng thêm 10% so với năm trước. Hỏi năm nào là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả chi phí vận hành trong cả năm lớn hơn 4 tỉ đồng?
